132 5 Corps solides immergés dans un fluide incompressible : le cas des solides rigides
Un premier exemple est donné dans [73]. Il s’agit dans ce cas d’ajouter
aux vitesses obtenues par moyennes sur la phase solide, et donc résultant
des forces hydrodynamiques, un champ de vitesse associé à des déformations
prescrites a priori dans le solide. L’application visée est la nage de poissons
anguilliformes et les déformations sont calculées à partir de modèles basées sur
une distribution d’épaisseurs du solide autour d’une arête, elle même définie
par une distribution de courbure variable dans le temps et définissant les
mouvements ondulatoires du nageur. Par dérivation par rapport au temps, ces
déformations permettent de définir un champ de vitesse dans le solide u def .
Ce champ de vitesse est ajouté au champ de vitesse défini par (5.5) et inséré
dans le terme de pénalisation dans le membre de droite de (5.3). Du fait que
u def n’est en général pas à divergence nulle, le calcul du terme de pression
dans l’équation de Navier-Stokes doit prendre en compte cette divergence.
Un autre extension donnée dans [33, 9] consiste à ajouter une force élastique
dans le calcul de vitesse du solide. On peut par exemple considérer le cas
d’un objet attaché à un ressort, maintenu dans la direction orthogonale au
ressort et libre de ses mouvements dans la direction du ressort. Dans ce cas
là, à partir de la position du centre de gravité du solide la force de rappel
du ressort permet de calculer une accélération de l’objet dans la direction du
ressort et la vitesse calculée par (5.5) peut être actualisée à chaque pas de
temps en l’incrémentant de cette accélération. Le terme de pénalisation dans
le membre de droite de (5.3) est calculé à partir de la vitesse résultant de
cette opération.
Ces différentes extensions seront détaillées et illustrées dans le paragraphe
qui suit.
5.5 Illustrations numériques
Pour introduire ce paragraphe, commençons par le cas simple de la chute
libre d’un objet sous l’effet de la gravité dans un fluide. La figure 5.1 reprise
de [20] traite du cas d’un cylindre bi-dimensionnel. Y sont tracées les vitesses
dans une coupe horizontale passant par le centre du cylindre pour différentes
valeur du paramêtre η.
Le système (5.3)-(5.7) est discrétisé par la méthode de projection décrite
plus haut, utilisant une grille décalée. Pression et fonction caractéristique du
solide sont calculées au même point, les composantes de la vitesse étant elles
classiquement décalées d’une demi-maille à gauche ou en haut, ce qui assure
que la contrainte de divergence nulle est exactement satisfaite. Le transport
de la fonction caractéristique est assuré par une méthode WENO d’ordre
5. La boite de calcul est [0, 2] × [0, 6], le cylindre a un diamêtre de 0.250 et
une densité 1.5 pour un fluide de densité 1. L’accélération de la pesanteur g
est prise égale à 980. Le pas d’espace est Δx = 1/256 et le pas de temps est
Un premier exemple est donné dans [73]. Il s’agit dans ce cas d’ajouter
aux vitesses obtenues par moyennes sur la phase solide, et donc résultant
des forces hydrodynamiques, un champ de vitesse associé à des déformations
prescrites a priori dans le solide. L’application visée est la nage de poissons
anguilliformes et les déformations sont calculées à partir de modèles basées sur
une distribution d’épaisseurs du solide autour d’une arête, elle même définie
par une distribution de courbure variable dans le temps et définissant les
mouvements ondulatoires du nageur. Par dérivation par rapport au temps, ces
déformations permettent de définir un champ de vitesse dans le solide u def .
Ce champ de vitesse est ajouté au champ de vitesse défini par (5.5) et inséré
dans le terme de pénalisation dans le membre de droite de (5.3). Du fait que
u def n’est en général pas à divergence nulle, le calcul du terme de pression
dans l’équation de Navier-Stokes doit prendre en compte cette divergence.
Un autre extension donnée dans [33, 9] consiste à ajouter une force élastique
dans le calcul de vitesse du solide. On peut par exemple considérer le cas
d’un objet attaché à un ressort, maintenu dans la direction orthogonale au
ressort et libre de ses mouvements dans la direction du ressort. Dans ce cas
là, à partir de la position du centre de gravité du solide la force de rappel
du ressort permet de calculer une accélération de l’objet dans la direction du
ressort et la vitesse calculée par (5.5) peut être actualisée à chaque pas de
temps en l’incrémentant de cette accélération. Le terme de pénalisation dans
le membre de droite de (5.3) est calculé à partir de la vitesse résultant de
cette opération.
Ces différentes extensions seront détaillées et illustrées dans le paragraphe
qui suit.
5.5 Illustrations numériques
Pour introduire ce paragraphe, commençons par le cas simple de la chute
libre d’un objet sous l’effet de la gravité dans un fluide. La figure 5.1 reprise
de [20] traite du cas d’un cylindre bi-dimensionnel. Y sont tracées les vitesses
dans une coupe horizontale passant par le centre du cylindre pour différentes
valeur du paramêtre η.
Le système (5.3)-(5.7) est discrétisé par la méthode de projection décrite
plus haut, utilisant une grille décalée. Pression et fonction caractéristique du
solide sont calculées au même point, les composantes de la vitesse étant elles
classiquement décalées d’une demi-maille à gauche ou en haut, ce qui assure
que la contrainte de divergence nulle est exactement satisfaite. Le transport
de la fonction caractéristique est assuré par une méthode WENO d’ordre
5. La boite de calcul est [0, 2] × [0, 6], le cylindre a un diamêtre de 0.250 et
une densité 1.5 pour un fluide de densité 1. L’accélération de la pesanteur g
est prise égale à 980. Le pas d’espace est Δx = 1/256 et le pas de temps est