5.4 Extensions de la méthode de pénalisation
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équation et éviter cette source d’erreur en utilisant le fait que le déplacement
de solides rigides est une opération purement algébrique qui peut se faire de
manière exacte. On commence par remplacer l’équation (5.7) par une équation
d’advection avec la vitesse du solide :
∂ t ϕ
S
+ u
S
· ∇ϕ
S
= 0.
Considérons les caractéristiques X associées au champ de vitesse u S et notons
X n = X(t n ; x, 0) pour un pointx dans le solide. En faisant le choix d’un champ
de vitesse constant entre 2 pas de temps t n et t n+1 , on peut déduire X n+1
de X n par rotation et translation. Plus précisément si on pose
θ
n
= |ω
n
|Δt ,
ω n
|ω n |
= (α, β, γ),
où ω n désigne le rotationnel de la vitesse du solide u S au temps t n , considérons
la rotation autour du centre de gravité c n de S au temps t n de matrice
R
n
=
⎡
⎣
1 − 2b 2 − 2z 2 2ab − 2cd
2ac + 2bd
2ab + 2cd 1 − 2a 2 − 2c 2 2bc − 2ad
2ac − 2bd
2bc + 2ad 1 − 2a 2 − 2b 2
⎤
⎦
où
a = α sin
θ n
2
,b = β sin
θ n
2
,c = γ sin
θ n
2
,d = cos
θ n
2
.
Avec ces notations, le déplacement rigide de S peut s’écrire exactement
X
n+1
= c
n
+ u
S Δt + R
n
(X
n
− c
n
).
De proche en proche on peut calculer les matrices M n et les vecteurs V n ,
tels que
X
n+1
= M
n+1 X
0
+ V
n+1 .
Ce qui précède permet donc de calculer X 0 = x à partir de X n+1 . Pour
calculer la fonction level set ϕ au temps t n+1 il suffit donc de faire ce calcul en
chaque point de grille puis d’interpoler la fonction level set initiale (construite
à partir du solide au temps initial) aux points X 0 correspondants.
5.4 Extensions de la méthode de pénalisation
Un intérêt de la méthode de pénalisation décrite ci-dessus est la possibilité
d’ajouter simplement à la dynamique des solides des forces extérieures autres
que celles provenant de l’hydrodynamique.