130 5 Corps solides immergés dans un fluide incompressible : le cas des solides rigides
(v) et finalement advection de la fonction Level Set donnant l’interface
fluide-solide et la fonction caractéristique du solide.
Les équations (5.11) et (5.13) sont résolues en prenant en compte les conditions
limite aux bornes du domaine de calcul (domaine indépendant de l’interface
fluide-solide).
La discrétisation en temps de l’équation (5.12) appelle quelques remarques.
Faisant, pour simplifier l’écriture, l’hypothèse d’une densité uniforme dans le
système fluide-solide, une discrétisation explicite de cette équation donne la
formule
u
= u +
Δt
η
χ
S
(u
S
− u)
où Δt désigne le pas de temps, u S désigne la vitesse du solide définie par (5.5)
et u est la vitesse résultant des étapes précédentes. De manière équivalente
on obtient
u
= u
1 −
Δt
η
χ
S
+
Δt
η
χ
S u
S .
On voit que dans le cas particulier où Δt = η on obtient pour u la projection
de u sur les vitesses correspondant aux déplacements rigides. Dans cas la
méthode de pénalisation coïncide avec la méthode de projection de [126]. Par
ailleurs la condition Δt ≤ η apparait comme une condition nécessaire pour
assurer la stabilité de cette étape. Cependant comme on le verra plus tard
il est important en pratique de prendre des coefficients η très petits, pour
assurer une bonne continuité des vitesses à l’interface solide-liquide, ce qui
requiert avec cette méthode de discrétisation un pas de temps qui peut se
révèler prohibitif. Cependant un schéma implicite en temps pour l’étape de
pénalisation est très simple à écrire et n’entraîne pas de surcoùt par rapport
au schéma explicite. Il s’écrit, comme pour la méthode d’origine [5]
u
1 +
Δt
η
χ
S
= u +
Δt
η
χ
S u
S ,
ou encore
u
=
u + Δtχ S u S /η
(1 + Δtχ S /η)
.
(5.14)
Ce schémas est évidemment monotone (au sens où si u S et u sont positifs,
il en est de même de u ) pour toute valeur du pas de temps. Il permet donc
d’utiliser des petites valeurs de η, et donc d’assurer une bonne continuité des
vitesses aux parois, sans avoir à utiliser des pas de temps prohibitivement
petits. On verra ci-dessous des illustrations numériques de ces propriétés.
Une dernière remarque concernant la mise en oeuvre de ces méthodes
concerne le suivi du ou des solides. L’équation de transport (5.7), même si
elle est résolue avec une méthode précise peut entraîner une distorsion des
solides, d’autant que la continuité des vitesse aux parois du solide n’est pas
assurée de manière exacte. On peut faire l’économie de la résolution de cette
(v) et finalement advection de la fonction Level Set donnant l’interface
fluide-solide et la fonction caractéristique du solide.
Les équations (5.11) et (5.13) sont résolues en prenant en compte les conditions
limite aux bornes du domaine de calcul (domaine indépendant de l’interface
fluide-solide).
La discrétisation en temps de l’équation (5.12) appelle quelques remarques.
Faisant, pour simplifier l’écriture, l’hypothèse d’une densité uniforme dans le
système fluide-solide, une discrétisation explicite de cette équation donne la
formule
u
= u +
Δt
η
χ
S
(u
S
− u)
où Δt désigne le pas de temps, u S désigne la vitesse du solide définie par (5.5)
et u est la vitesse résultant des étapes précédentes. De manière équivalente
on obtient
u
= u
1 −
Δt
η
χ
S
+
Δt
η
χ
S u
S .
On voit que dans le cas particulier où Δt = η on obtient pour u la projection
de u sur les vitesses correspondant aux déplacements rigides. Dans cas la
méthode de pénalisation coïncide avec la méthode de projection de [126]. Par
ailleurs la condition Δt ≤ η apparait comme une condition nécessaire pour
assurer la stabilité de cette étape. Cependant comme on le verra plus tard
il est important en pratique de prendre des coefficients η très petits, pour
assurer une bonne continuité des vitesses à l’interface solide-liquide, ce qui
requiert avec cette méthode de discrétisation un pas de temps qui peut se
révèler prohibitif. Cependant un schéma implicite en temps pour l’étape de
pénalisation est très simple à écrire et n’entraîne pas de surcoùt par rapport
au schéma explicite. Il s’écrit, comme pour la méthode d’origine [5]
u
1 +
Δt
η
χ
S
= u +
Δt
η
χ
S u
S ,
ou encore
u
=
u + Δtχ S u S /η
(1 + Δtχ S /η)
.
(5.14)
Ce schémas est évidemment monotone (au sens où si u S et u sont positifs,
il en est de même de u ) pour toute valeur du pas de temps. Il permet donc
d’utiliser des petites valeurs de η, et donc d’assurer une bonne continuité des
vitesses aux parois, sans avoir à utiliser des pas de temps prohibitivement
petits. On verra ci-dessous des illustrations numériques de ces propriétés.
Une dernière remarque concernant la mise en oeuvre de ces méthodes
concerne le suivi du ou des solides. L’équation de transport (5.7), même si
elle est résolue avec une méthode précise peut entraîner une distorsion des
solides, d’autant que la continuité des vitesse aux parois du solide n’est pas
assurée de manière exacte. On peut faire l’économie de la résolution de cette