5.3 Remarques sur la mise en oeuvre numérique
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la déformations dans le solide est ajouté à la fonctionnelle à minimiser pour
assurer un déplacement rigide dans celui-ci. L’inconvénient de cette méthode
est qu’elle est susceptible de laisser subsister de faibles déformations dans le
solide, ce qui peut être une difficulté dans des simulations sur des temps longs
ou dans des écoulements très irréguliers.
Pour terminer cette section, notons que, si un intérêt principal des méthodes
de pénalisation est de permettre d’éviter les calculs des forces pour déterminer
la dynamique du système fluide-solide, la méthode de pénalisation sur les
vitesses permet de calculer a posteriori et de manière très simple ces forces.
En effet, suivant [5], on peut écrire la relation suivante pour les forces exercées
sur le solide S
∂S
σ(u, p) · n = lim
η→0
1
η
Ω
χ
S
(u
S
− u) dx,
(5.10)
où σ ij (u, p) = μ(∂ x j u i + ∂ x i u j ) − pδ ij désigne le tenseur des contraintes. Dans
la formule ci-dessus, on rappelle que, par abus de notation, u dénote la solution
du système (5.3)-(5.7), et dépend donc évidemment de η.
5.3 Remarques sur la mise en oeuvre numérique
La méthode décrite ci-dessus peut être mise en oeuvre avec toute méthode
de discrétisation des équations de Navier-Stokes incompressibles. Typiquement,
une méthode naturelle de splitting consiste à résoudre pour chaque pas de
temps à enchaîner les étapes suivantes
(i) résolution de l’équation de Navier-Stokes :
∂ t (ρu) + div(ρu ⊗ u) − μΔu = ρg,
(5.11)
(ii) calcul de u S sur la base de l’équation (5.5) utilisant le résultat de
(5.11),
(iii) prise en compte du terme de pénalisation en résolvant l’équation
∂ t (ρu) =
1
η
χ
S
(u − u
S
)
(5.12)
(iv) addition d’un gradient de pression de manière à rendre le champ de
vitesse final à divergence nulle, en résolvant l’équation
Δp = divu
∗ ,
(5.13)
associée aux conditions limites souhaitées aux bords du domaine de
calcul Ω, où u ∗ désigne le résultat des étapes précédentes,
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la déformations dans le solide est ajouté à la fonctionnelle à minimiser pour
assurer un déplacement rigide dans celui-ci. L’inconvénient de cette méthode
est qu’elle est susceptible de laisser subsister de faibles déformations dans le
solide, ce qui peut être une difficulté dans des simulations sur des temps longs
ou dans des écoulements très irréguliers.
Pour terminer cette section, notons que, si un intérêt principal des méthodes
de pénalisation est de permettre d’éviter les calculs des forces pour déterminer
la dynamique du système fluide-solide, la méthode de pénalisation sur les
vitesses permet de calculer a posteriori et de manière très simple ces forces.
En effet, suivant [5], on peut écrire la relation suivante pour les forces exercées
sur le solide S
∂S
σ(u, p) · n = lim
η→0
1
η
Ω
χ
S
(u
S
− u) dx,
(5.10)
où σ ij (u, p) = μ(∂ x j u i + ∂ x i u j ) − pδ ij désigne le tenseur des contraintes. Dans
la formule ci-dessus, on rappelle que, par abus de notation, u dénote la solution
du système (5.3)-(5.7), et dépend donc évidemment de η.
5.3 Remarques sur la mise en oeuvre numérique
La méthode décrite ci-dessus peut être mise en oeuvre avec toute méthode
de discrétisation des équations de Navier-Stokes incompressibles. Typiquement,
une méthode naturelle de splitting consiste à résoudre pour chaque pas de
temps à enchaîner les étapes suivantes
(i) résolution de l’équation de Navier-Stokes :
∂ t (ρu) + div(ρu ⊗ u) − μΔu = ρg,
(5.11)
(ii) calcul de u S sur la base de l’équation (5.5) utilisant le résultat de
(5.11),
(iii) prise en compte du terme de pénalisation en résolvant l’équation
∂ t (ρu) =
1
η
χ
S
(u − u
S
)
(5.12)
(iv) addition d’un gradient de pression de manière à rendre le champ de
vitesse final à divergence nulle, en résolvant l’équation
Δp = divu
∗ ,
(5.13)
associée aux conditions limites souhaitées aux bords du domaine de
calcul Ω, où u ∗ désigne le résultat des étapes précédentes,