128 5 Corps solides immergés dans un fluide incompressible : le cas des solides rigides
V (u) =
1
M
Ω
ρuχ
S dx , ω(u) = J
−1
Ω
ρ(r(x) × u)χ
S dx,
où r = x − M −1
Ω ρχ S xdx et M et J désignent la masse et le tenseur d’inertie
définis plus haut.
Proposition 5.1. Soit ξ un déplacement rigide, i.e. tel que ξ(x) = V ξ +
ω ξ × r(x) où V ξ et ω ξ sont de vecteurs donnés de R 3 . Alors
Ω
χ
S
(x)(V (u) + ω(u) × r − u(x)) · ξ(x) dx = 0.
(5.9)
Preuve. On peut écrire
Ω
ρχ
S
[u − (V (u) + ω u × r)] · [V (ξ) + ω(ξ) × r] dx
= V (ξ) ·
Ω
ρχ
S udx + ω(ξ) ·
Ω
ρχ
S
(r × u) dx − V (u) · V (ξ)
Ω
ρχ
S dx
− V (u) ·
ω(ξ) ×
Ω
ρχ
S r(x) dx
− V (ξ) ·
ω(u) ×
Ω
ρχ
S r(x) dx
−
Ω
ρχ
S
(ω(u)) × r) · (ω(ξ) × r(x)) dx
= V (ξ) · (MV (u)) + ω(ξ) · (J ω(u)) − V (u) · (MV (ξ))
− V (u) ·
ω(ξ) ×
Ω
ρχ
S r(x) dx
− V (ξ) ·
ω(u) ×
Ω
ρχ
S r(x) dx
−
ω
ρχ
S
(ω(u) × r) · (ω ξ × r) dx.
Comme (ω(u) × r) · (ω(ξ) × r) = (ω(ξ) · ω(u)r 2 − (r · ω(ξ))(r · ω(u)), on a
Ω
ρχ
S
(ω(u) × r) · (ω ξ × r) dx = ω(ξ) · (J ω(u)).
Enfin, par définition de r,
Ω
ρχ
S r dx = 0, si bien qu’on obtient
Ω
ρχ
S
(u − V (u) − ω(u) × r) · ξ dx = ω(ξ) · (J ω(u)) − ω(ξ) · (J ω(u)) = 0.
Il faut signaler qu’il est également naturel de traiter les problèmes d’interaction fluide-structure rigide avec une autre méthode de pénalisation, à
savoir en pénalisant les déformations de l’objet rigide. Dans [88] par exemple,
la formulation variationnelle des équations de Navier-Stokes est traitée classiquement comme un problème de minimisation et un terme de pénalisation de