5.2 Le cas d’un solide rigide en interaction avec le fluide
127
∂ t (ρu) + div(ρu ⊗ u) − μΔu + ∇p +
1
η
χ
S
(u − u
S
) = ρg
(5.3)
div u = 0,
(5.4)
u
S
=
1
M
Ω
ρuχ
S dx +
J
−1
Ω
ρ(r × u)χ
S dx
× r,
(5.5)
∂ t ρ + u · ∇ρ = 0,
(5.6)
∂ t χ
S
+ u · ∇χ
S
= 0.
(5.7)
Dans l’équation (5.5) M =
ρχ S désigne la masse du solide et on a inclut
l’effet de la gravité avec le terme ρg dans le membre de droite de (5.4). Comme
nous le verrons plus bas, la vitesse u S est la vitesse du solide obtenue par
projection des vitesses du fluide sur les déplacements rigides. La notation J
ci-dessus désigne le tenseur d’inertie du solide, défini par
J =
Ω
ρχ
S
(r
2 I − r ⊗ r) dx
où r = x −
Ω ρχ S x dx.
Dans le système ci-dessus il est important de distinguer les densités du
fluide et du solide, ce qui conduit à ajouter l’équation de conservation de la
masse (5.6) pour la densité ρ. Si le fluide a une densité uniforme ρ f et le
solide une densité ρ S on peut faire évidemment l’économie de l’équation (5.6)
et écrire directement
ρ = ρ f + (ρ S − ρ f )χ
S .
L’équation (5.7) peut être remplacée par une équation de transport sur une
fonction level set dont la surface de valeur zéro correspond à la surface de
l’objet et positive à l’intérieur de l’objet :
∂ t ϕ
S
+ u · ∇ϕ
S
= 0.
(5.8)
La fonction indicatrice du solide est ensuite donnée par
χ
S
= H(ϕ
S
)
où H désigne la fonction de Heaviside, éventuellement régularisée comme on
l’a fait dans les chapitres précédents. La démonstration de la convergence des
solutions de ce système, lorsque η tend vers 0, vers la solution du système
couplé fluide-solide rigide, est très technique et nous renvoyons le lecteur à
[20]. Cependant, pour vérifier la consistance de la méthode, il est utile et
simple de vérifier que le champ de vitesse défini par (5.5) est bien la projection
de u sur les déplacements rigides.
Soit en effet un champ de vitesse u et une densité ρ définis dans L 2 (Ω), χ S
la fonction caractéristique d’un ouvert S, et V (u), ω(u) les vitesse et rotation
moyennes dans S définies par (5.5) :
127
∂ t (ρu) + div(ρu ⊗ u) − μΔu + ∇p +
1
η
χ
S
(u − u
S
) = ρg
(5.3)
div u = 0,
(5.4)
u
S
=
1
M
Ω
ρuχ
S dx +
J
−1
Ω
ρ(r × u)χ
S dx
× r,
(5.5)
∂ t ρ + u · ∇ρ = 0,
(5.6)
∂ t χ
S
+ u · ∇χ
S
= 0.
(5.7)
Dans l’équation (5.5) M =
ρχ S désigne la masse du solide et on a inclut
l’effet de la gravité avec le terme ρg dans le membre de droite de (5.4). Comme
nous le verrons plus bas, la vitesse u S est la vitesse du solide obtenue par
projection des vitesses du fluide sur les déplacements rigides. La notation J
ci-dessus désigne le tenseur d’inertie du solide, défini par
J =
Ω
ρχ
S
(r
2 I − r ⊗ r) dx
où r = x −
Ω ρχ S x dx.
Dans le système ci-dessus il est important de distinguer les densités du
fluide et du solide, ce qui conduit à ajouter l’équation de conservation de la
masse (5.6) pour la densité ρ. Si le fluide a une densité uniforme ρ f et le
solide une densité ρ S on peut faire évidemment l’économie de l’équation (5.6)
et écrire directement
ρ = ρ f + (ρ S − ρ f )χ
S .
L’équation (5.7) peut être remplacée par une équation de transport sur une
fonction level set dont la surface de valeur zéro correspond à la surface de
l’objet et positive à l’intérieur de l’objet :
∂ t ϕ
S
+ u · ∇ϕ
S
= 0.
(5.8)
La fonction indicatrice du solide est ensuite donnée par
χ
S
= H(ϕ
S
)
où H désigne la fonction de Heaviside, éventuellement régularisée comme on
l’a fait dans les chapitres précédents. La démonstration de la convergence des
solutions de ce système, lorsque η tend vers 0, vers la solution du système
couplé fluide-solide rigide, est très technique et nous renvoyons le lecteur à
[20]. Cependant, pour vérifier la consistance de la méthode, il est utile et
simple de vérifier que le champ de vitesse défini par (5.5) est bien la projection
de u sur les déplacements rigides.
Soit en effet un champ de vitesse u et une densité ρ définis dans L 2 (Ω), χ S
la fonction caractéristique d’un ouvert S, et V (u), ω(u) les vitesse et rotation
moyennes dans S définies par (5.5) :