126 5 Corps solides immergés dans un fluide incompressible : le cas des solides rigides
5.1 La méthode de pénalisation pour un solide de
vitesse donnée
Cette méthode proposée à l’origine par Caltagirone [26] et analysée par
Angot, Bruneau et Fabrie [5] consiste à résoudre le système suivant, dans un
domaine Ω contenant fluide et solide :
∂ t u η + u η · ∇u η + ∇p − μΔu η = η
−1 χ S (u
S
− u η ),
(5.1)
div u η = 0.
(5.2)
Dans ces équations, on a supposé la densité du fluide égale à 1, S désigne le
solide et χ S sa fonction caractéristique et u S sa vitesse. Le paramêtre η << 1
est le coefficient de pénalisation. L’interprétation de ce système est simple : en
dehors du solide (où χ S est nul) il se réduit à l’équation du fluide, et dans le
solide, les termes prépondérants de l’équation assurent que la vitesse coïncide
avec celle du solide. L’analyse donnée dans [5] confirme que lorsque η tend
vers zéro, la solution de (5.1) tend vers celle des équations de Navier-Stokes
dans le domaine fluide, avec condition limite d’adhérence aux parois du solide.
Sans aller dans les détails de ce résultat et de sa preuve on peut remarquer
que si on suppose pour simplifier que u S est indépendant de t et u η = 0 sur
∂Ω (on rappelle que Ω est le domaine de calcul englobant le fluide et le solide),
en multipliant l’équation (5.1) par u η − u S on trouve facilement
1
2
d
dt
u η − u
S
2
2 + μ∇(u η − u
S
)
2
2 + η
−1
S
|u η − u
S
|
2 dx = 0,
ce qui montre que pour tout T > 0
u η − u
S
→ 0 dans L 2 ([0,T ] × S), lorsque η → 0.
Dans toute la suite, pour alléger l’écriture, on oubliera l’indice η dans la
notation des approximations des inconnues.
5.2 Le cas d’un solide rigide en interaction avec le fluide
Dans le cas où la vitesse du solide n’est pas donnée, mais résulte des forces
hydrodynamiques exercées sur le solide, il suffit de reprendre l’équation de
pénalisation 5.1 en la couplant avec, d’une part une équation exprimant le
transport du solide avec la vitesse fluide, d’autre part une équation donnant
la vitesse du solide comme projection sur les déplacements rigides. On obtient
le système suivant, en considérant le cas, pour simplifier l’écriture, d’un seul
objet rigide :
5.1 La méthode de pénalisation pour un solide de
vitesse donnée
Cette méthode proposée à l’origine par Caltagirone [26] et analysée par
Angot, Bruneau et Fabrie [5] consiste à résoudre le système suivant, dans un
domaine Ω contenant fluide et solide :
∂ t u η + u η · ∇u η + ∇p − μΔu η = η
−1 χ S (u
S
− u η ),
(5.1)
div u η = 0.
(5.2)
Dans ces équations, on a supposé la densité du fluide égale à 1, S désigne le
solide et χ S sa fonction caractéristique et u S sa vitesse. Le paramêtre η << 1
est le coefficient de pénalisation. L’interprétation de ce système est simple : en
dehors du solide (où χ S est nul) il se réduit à l’équation du fluide, et dans le
solide, les termes prépondérants de l’équation assurent que la vitesse coïncide
avec celle du solide. L’analyse donnée dans [5] confirme que lorsque η tend
vers zéro, la solution de (5.1) tend vers celle des équations de Navier-Stokes
dans le domaine fluide, avec condition limite d’adhérence aux parois du solide.
Sans aller dans les détails de ce résultat et de sa preuve on peut remarquer
que si on suppose pour simplifier que u S est indépendant de t et u η = 0 sur
∂Ω (on rappelle que Ω est le domaine de calcul englobant le fluide et le solide),
en multipliant l’équation (5.1) par u η − u S on trouve facilement
1
2
d
dt
u η − u
S
2
2 + μ∇(u η − u
S
)
2
2 + η
−1
S
|u η − u
S
|
2 dx = 0,
ce qui montre que pour tout T > 0
u η − u
S
→ 0 dans L 2 ([0,T ] × S), lorsque η → 0.
Dans toute la suite, pour alléger l’écriture, on oubliera l’indice η dans la
notation des approximations des inconnues.
5.2 Le cas d’un solide rigide en interaction avec le fluide
Dans le cas où la vitesse du solide n’est pas donnée, mais résulte des forces
hydrodynamiques exercées sur le solide, il suffit de reprendre l’équation de
pénalisation 5.1 en la couplant avec, d’une part une équation exprimant le
transport du solide avec la vitesse fluide, d’autre part une équation donnant
la vitesse du solide comme projection sur les déplacements rigides. On obtient
le système suivant, en considérant le cas, pour simplifier l’écriture, d’un seul
objet rigide :