Chapitre 5
Corps solides immergés dans un fluide
incompressible : le cas des solides rigides
La manière traditionnelle de traiter l’interaction d’un fluide avec un solide
rigide est de résoudre les équations de Navier-Stokes dans le fluide, en utilisant
un maillage s’appuyant sur le solide, de calculer à partir de la solution de ces
équations les forces s’exerçant sur le solide, et de faire évoluer le solide en
utilisant ces forces.
Si l’on cherche à éviter d’utiliser un maillage adapté, une approche de
type domaine fictifs [76, 75] consiste à utiliser les équations de Navier-Stokes
dans un domaine de calcul incluant les solides et à traiter les contraintes de
non-déformation des solides rigides à l’aide de multiplicateurs de Lagrange
dans un cadre variationnel.
Une autre approche, extension des méthodes développées dans ce livre dans
un cadre Eulérien, peut être aussi de considérer ce problème d’interaction
fluide-structure comme un cas limite des cas d’élasticité vus précédemment, par
exemple en considérant la surface du solide comme une membrane élastique,
avec une raideur tendant vers l’infini. Cependant cette approche peut se
révéler inefficace pour 2 raisons. D’une part elle fait intervenir artificiellement
des contraintes de stabilité très contraignante, et, d’autre part, elle risque de
faire subsister des faibles déformations dans le solide rigide.
Une troisième approche, suggérée par Patankar, [126], consiste à traiter le
système fluide/solide comme un écoulement à densité variable, et à projeter
à chaque pas de temps le champ de vitesse dans la phase solide sur les
champs correspondant aux déplacements rigides. Dans la suite, c’est à ce
type de méthodes que nous nous attachons. Plus précisément nous décrivons
une généralisation de la méthode de Patankar dans un formalisme continu
en temps s’appuyant sur une méthode de pénalisation. Au préalable nous
rappelons la définition de la méthode de pénalisation pour un écoulement
autour d’un obstacle ayant une vitesse déterminée.
125
The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2021
G.-H. Cottet et al., Méthodes Level Set pour l’interaction fluide-structure,
Mathématiques et Applications 86, https://doi.org/10.1007/978-3-030-70075-1_5
Corps solides immergés dans un fluide
incompressible : le cas des solides rigides
La manière traditionnelle de traiter l’interaction d’un fluide avec un solide
rigide est de résoudre les équations de Navier-Stokes dans le fluide, en utilisant
un maillage s’appuyant sur le solide, de calculer à partir de la solution de ces
équations les forces s’exerçant sur le solide, et de faire évoluer le solide en
utilisant ces forces.
Si l’on cherche à éviter d’utiliser un maillage adapté, une approche de
type domaine fictifs [76, 75] consiste à utiliser les équations de Navier-Stokes
dans un domaine de calcul incluant les solides et à traiter les contraintes de
non-déformation des solides rigides à l’aide de multiplicateurs de Lagrange
dans un cadre variationnel.
Une autre approche, extension des méthodes développées dans ce livre dans
un cadre Eulérien, peut être aussi de considérer ce problème d’interaction
fluide-structure comme un cas limite des cas d’élasticité vus précédemment, par
exemple en considérant la surface du solide comme une membrane élastique,
avec une raideur tendant vers l’infini. Cependant cette approche peut se
révéler inefficace pour 2 raisons. D’une part elle fait intervenir artificiellement
des contraintes de stabilité très contraignante, et, d’autre part, elle risque de
faire subsister des faibles déformations dans le solide rigide.
Une troisième approche, suggérée par Patankar, [126], consiste à traiter le
système fluide/solide comme un écoulement à densité variable, et à projeter
à chaque pas de temps le champ de vitesse dans la phase solide sur les
champs correspondant aux déplacements rigides. Dans la suite, c’est à ce
type de méthodes que nous nous attachons. Plus précisément nous décrivons
une généralisation de la méthode de Patankar dans un formalisme continu
en temps s’appuyant sur une méthode de pénalisation. Au préalable nous
rappelons la définition de la méthode de pénalisation pour un écoulement
autour d’un obstacle ayant une vitesse déterminée.
125
The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2021
G.-H. Cottet et al., Méthodes Level Set pour l’interaction fluide-structure,
Mathématiques et Applications 86, https://doi.org/10.1007/978-3-030-70075-1_5