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4 Corps solides immergés dans un fluide : le cas des solides élastiques
d’énergie représente un solide élastique Néo-hookéen où la constante χ est le
module d’élasticité de cisaillement.
4.4.2 Schéma numérique
Soit x = (x 1 ,x 2 ,x 3 ) les coordonnées dans la base canonique de R 3 . Le
système d’équations (4.27) se réécrit de manière compacte
∂ t Φ + ∂ x 1 (G
1
(Φ)) + ∂ x 2 (G
2
(Φ)) + ∂ x 3 (G
3
(Φ)) = 0
(4.39)
On discrétise (4.39) avec une méthode de volumes finis sur un maillage
cartésien. Soit Δx i le pas d’espace dans la direction x i et Ω i,j,k le volume
de contrôle centré sur le noeud (iΔx 1 ,jΔx 2 ,kΔx 3 ). La semi-discrétisation en
espace de (4.39) sur Ω i,j,k s’écrit
∂ t Φ i,j,k +
G 1
i+1/2,j,k − G 1
i−1/2,j,k
Δx 1
+
G 2
i,j+1/2,k − G 2
i,j−1/2,k
Δx 2
+
G 3
i,j,k+1/2 − G 3
i,j,k−1/2
Δx 3
= 0 (4.40)
Les flux dans (4.40) sont calculés par des solveurs de Riemann approchés
unidimensionnels dans la direction orthogonale aux faces des cellules du
maillage cartésien. Par conséquent, nous avons
G
1
i−1/2,j,k ≈ F(Φ i−1,j,k ; Φ i,j,k ) G
1
i+1/2,j,k ≈ F(Φ i,j,k ; Φ i+1,j,k ) (4.41)
G
2
i,j−1/2,k ≈ F(Φ i,j−1,k ; Φ i,j,k ) G
2
i,j+1/2,k ≈ F(Φ i,j,k ; Φ i,j+1,k ) (4.42)
G
3
i,j,k−1/2 ≈ F(Φ i,j,k−1 ; Φ i,j,k ) G
3
i,j,k+1/2 ≈ F(Φ i,j,k ; Φ i,j,k+1 ) (4.43)
où F(· ; ·) est le flux numérique. Les flux sont les mêmes dans les trois
directions spatiales, on considère donc le problème unidimensionel dans la
direction x 1
∂ t Ψ + ∂ x 1 (F (Ψ )) = 0
(4.44)
On peut alors montrer que les vitesses des ondes (valeurs propres de F (Ψ ))
sont de la forme
Λ
E
=
u 1 ,u 1 ,u 1 ±
α 1
ρ
,u 1 ±
α 2
ρ
,u 1 ±
α 3
ρ
(4.45)
où α 1 ,α 2 et α 3 dépendent des variables conservatives. On consultera [43] pour
une expression exacte de ces vitesse des ondes.
4 Corps solides immergés dans un fluide : le cas des solides élastiques
d’énergie représente un solide élastique Néo-hookéen où la constante χ est le
module d’élasticité de cisaillement.
4.4.2 Schéma numérique
Soit x = (x 1 ,x 2 ,x 3 ) les coordonnées dans la base canonique de R 3 . Le
système d’équations (4.27) se réécrit de manière compacte
∂ t Φ + ∂ x 1 (G
1
(Φ)) + ∂ x 2 (G
2
(Φ)) + ∂ x 3 (G
3
(Φ)) = 0
(4.39)
On discrétise (4.39) avec une méthode de volumes finis sur un maillage
cartésien. Soit Δx i le pas d’espace dans la direction x i et Ω i,j,k le volume
de contrôle centré sur le noeud (iΔx 1 ,jΔx 2 ,kΔx 3 ). La semi-discrétisation en
espace de (4.39) sur Ω i,j,k s’écrit
∂ t Φ i,j,k +
G 1
i+1/2,j,k − G 1
i−1/2,j,k
Δx 1
+
G 2
i,j+1/2,k − G 2
i,j−1/2,k
Δx 2
+
G 3
i,j,k+1/2 − G 3
i,j,k−1/2
Δx 3
= 0 (4.40)
Les flux dans (4.40) sont calculés par des solveurs de Riemann approchés
unidimensionnels dans la direction orthogonale aux faces des cellules du
maillage cartésien. Par conséquent, nous avons
G
1
i−1/2,j,k ≈ F(Φ i−1,j,k ; Φ i,j,k ) G
1
i+1/2,j,k ≈ F(Φ i,j,k ; Φ i+1,j,k ) (4.41)
G
2
i,j−1/2,k ≈ F(Φ i,j−1,k ; Φ i,j,k ) G
2
i,j+1/2,k ≈ F(Φ i,j,k ; Φ i,j+1,k ) (4.42)
G
3
i,j,k−1/2 ≈ F(Φ i,j,k−1 ; Φ i,j,k ) G
3
i,j,k+1/2 ≈ F(Φ i,j,k ; Φ i,j,k+1 ) (4.43)
où F(· ; ·) est le flux numérique. Les flux sont les mêmes dans les trois
directions spatiales, on considère donc le problème unidimensionel dans la
direction x 1
∂ t Ψ + ∂ x 1 (F (Ψ )) = 0
(4.44)
On peut alors montrer que les vitesses des ondes (valeurs propres de F (Ψ ))
sont de la forme
Λ
E
=
u 1 ,u 1 ,u 1 ±
α 1
ρ
,u 1 ±
α 2
ρ
,u 1 ±
α 3
ρ
(4.45)
où α 1 ,α 2 et α 3 dépendent des variables conservatives. On consultera [43] pour
une expression exacte de ces vitesse des ondes.