4.4 Modèle de couplage fluide / structure élastique en compressible
119
Les équations de conservation de la masse, quantité de mouvement et énergie
sont données par (4.27) :
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
∂ t ρ + div(ρu) = 0,
∂ t (ρu) + div(ρu ⊗ u − σ) = 0,
∂ t (∇Y ) + ∇(u · ∇Y ) = 0,
∂ t (ρe) + div(ρeu − σ
T u) = 0.
(4.35)
En utilisant les équations (2.22) et (2.5) on obtient la relation ρ =
ρ 0 (Y ) det(∇Y ). Si ρ 0 est constant, l’équation de conservation de la masse
est redondante avec l’équation sur ∇Y . De plus, appliquer le gradient de
l’équation sur Y permet de mettre les équations sous forme d’un système hyperbolique mais impose une nouvelle contrainte : ∇ × ∇Y = 0. Cette dernière
est parfois appelée contrainte évolutive et caractérise le fait que la quantité
∇Y doit rester un gradient au cours de son évolution en temps. Certains
auteurs imposent cette contrainte en pénalisant les équations [108] ce qui
complexifie les modèles et leur résolution numérique. On peut préférer faire le
choix de ne pas ajouter cette contrainte. Il est montré dans [43] (Table 3 p.
137) que les schémas numériques permettent de la satisfaire à la précision du
schéma numérique près.
On choisit dans ce qui suit une loi de comportement générale qui va nous
permettre de modéliser les gaz, fluides et solides élastiques dont l’énergie
interne par unité de masse ε = e −
1
2 |u| 2 est donnée par
ε(ρ, s, ∇Y ) =
solide élastique Néo-hookéen
e
s
cv
γ − 1
1
ρ
− b
1−γ
− aρ
gaz de van der Waals
+
p ∞
ρ
gaz raide
+
χ
ρ 0
(Tr(B) − 3)
(4.36)
On obtient alors avec (4.26)
σ(ρ, s, ∇Y ) = −p(ρ, s)I + 2χJ
−1
B −
Tr(B)
3
I
,
(4.37)
où
p(ρ, s) = −p ∞ − aρ
2
+ κ(s)
1
ρ
− b
−γ
.
(4.38)
Ici c v , γ, p ∞ , a, b, χ sont des constantes positives qui caractérisent un matériau
donné. Les paramètres a et b correspondent aux paramètres de van der Waals.
La constante p ∞ permet de modéliser des matériaux fluides ou solides où
des forces intermoléculaires sont présentes. Le dernier terme de l’expression
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Les équations de conservation de la masse, quantité de mouvement et énergie
sont données par (4.27) :
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
∂ t ρ + div(ρu) = 0,
∂ t (ρu) + div(ρu ⊗ u − σ) = 0,
∂ t (∇Y ) + ∇(u · ∇Y ) = 0,
∂ t (ρe) + div(ρeu − σ
T u) = 0.
(4.35)
En utilisant les équations (2.22) et (2.5) on obtient la relation ρ =
ρ 0 (Y ) det(∇Y ). Si ρ 0 est constant, l’équation de conservation de la masse
est redondante avec l’équation sur ∇Y . De plus, appliquer le gradient de
l’équation sur Y permet de mettre les équations sous forme d’un système hyperbolique mais impose une nouvelle contrainte : ∇ × ∇Y = 0. Cette dernière
est parfois appelée contrainte évolutive et caractérise le fait que la quantité
∇Y doit rester un gradient au cours de son évolution en temps. Certains
auteurs imposent cette contrainte en pénalisant les équations [108] ce qui
complexifie les modèles et leur résolution numérique. On peut préférer faire le
choix de ne pas ajouter cette contrainte. Il est montré dans [43] (Table 3 p.
137) que les schémas numériques permettent de la satisfaire à la précision du
schéma numérique près.
On choisit dans ce qui suit une loi de comportement générale qui va nous
permettre de modéliser les gaz, fluides et solides élastiques dont l’énergie
interne par unité de masse ε = e −
1
2 |u| 2 est donnée par
ε(ρ, s, ∇Y ) =
solide élastique Néo-hookéen
e
s
cv
γ − 1
1
ρ
− b
1−γ
− aρ
gaz de van der Waals
+
p ∞
ρ
gaz raide
+
χ
ρ 0
(Tr(B) − 3)
(4.36)
On obtient alors avec (4.26)
σ(ρ, s, ∇Y ) = −p(ρ, s)I + 2χJ
−1
B −
Tr(B)
3
I
,
(4.37)
où
p(ρ, s) = −p ∞ − aρ
2
+ κ(s)
1
ρ
− b
−γ
.
(4.38)
Ici c v , γ, p ∞ , a, b, χ sont des constantes positives qui caractérisent un matériau
donné. Les paramètres a et b correspondent aux paramètres de van der Waals.
La constante p ∞ permet de modéliser des matériaux fluides ou solides où
des forces intermoléculaires sont présentes. Le dernier terme de l’expression