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4 Corps solides immergés dans un fluide : le cas des solides élastiques
dans [77]. Leur simulation numérique est délicate car les schémas de Godunov
classiques conduisent déjà dans le cas de multi-fluides à des oscillations de
pression au niveau de la discontinuité de contact. Dans [1], le mécanisme de
perturbation de la pression à l’origine de ce phénomène a été expliqué et
une première solution a été proposée. Dans [56] est présentée une solution
efficace pour résoudre cette difficulté avec la méthode ghost fluid (interface
sharp entre les matériaux). Pour les multi-fluides, des améliorations de cette
approche nécessitant moins de stockage ont été proposées dans [2] (interface
diffuse) et [60] (interface raide).
L’idée commune de ces méthodes est de définir un fluide "fantôme" qui
possède des caractéristiques mécaniques continues sur l’interface, mais le
même état thermodynamique ou la même équation d’état du fluide réel. Cette
hypothèse conduit à des schémas localement non conservatifs, stables et non
oscillants à l’interface des matériaux. Une méthode différente a été proposée
dans [108], où une technique conservative de type cut cells a été développée
pour les simulations hyperélastiques et multimatériaux plastiques. Ce schéma
est à la base de nombreux autres travaux ultérieurs dans la littérature. Une
autre approche est introduite dans [62] pour les interactions entre des solides
hyperélastiques et des fluides. Les auteurs conçoivent un modèle conservatif de
mélange hors équilibre qui s’adapte aux lois de conservation multimatérielles
souhaitées. Dans cette approche, on compromet la raideur de l’interface du
matériau pour éviter les oscillations et pour appliquer un solveur HLLC précédemment développé pour un seul matériau dans [72]. D’autres développements
de cette méthode incluent la modélisation de la plasticité [63] et une procédure
de division de sous-systèmes hyperboliques [61] où chaque sous-système ne
comporte que trois ondes au lieu de sept.
L’approche que nous décrivons ci-dessous utilise des schémas d’intégration
numérique des lois de conservation Euleriennes de matériaux compressibles
hyperélastiques qui simplifient les calculs des flux numériques à l’interface du
matériau. Aucun matériau fantôme n’est défini et aucun modèle de mélange
n’est nécessaire pour obtenir un schéma non oscillatoire. Les détails de cette
méthode ainsi que des simulations sur les choc de bulles et des impacts de
projectiles (modélisés avec de la plasticité) sont présentés dans [79, 43, 44] et
dans la thèse d’Alexia de Brauer [42]. On présente dans la suite la discrétisation
des équations ainsi qu’un exemple de simulation numérique d’impact de
projectile de cuivre dans l’air en 3D.
4.4.1 Modèle et loi constitutive en compressible
Une fonction Level Set est utilisée pour suivre l’interface entre deux matériaux.
∂ t ϕ + u · ∇ϕ = 0.
(4.34)
4 Corps solides immergés dans un fluide : le cas des solides élastiques
dans [77]. Leur simulation numérique est délicate car les schémas de Godunov
classiques conduisent déjà dans le cas de multi-fluides à des oscillations de
pression au niveau de la discontinuité de contact. Dans [1], le mécanisme de
perturbation de la pression à l’origine de ce phénomène a été expliqué et
une première solution a été proposée. Dans [56] est présentée une solution
efficace pour résoudre cette difficulté avec la méthode ghost fluid (interface
sharp entre les matériaux). Pour les multi-fluides, des améliorations de cette
approche nécessitant moins de stockage ont été proposées dans [2] (interface
diffuse) et [60] (interface raide).
L’idée commune de ces méthodes est de définir un fluide "fantôme" qui
possède des caractéristiques mécaniques continues sur l’interface, mais le
même état thermodynamique ou la même équation d’état du fluide réel. Cette
hypothèse conduit à des schémas localement non conservatifs, stables et non
oscillants à l’interface des matériaux. Une méthode différente a été proposée
dans [108], où une technique conservative de type cut cells a été développée
pour les simulations hyperélastiques et multimatériaux plastiques. Ce schéma
est à la base de nombreux autres travaux ultérieurs dans la littérature. Une
autre approche est introduite dans [62] pour les interactions entre des solides
hyperélastiques et des fluides. Les auteurs conçoivent un modèle conservatif de
mélange hors équilibre qui s’adapte aux lois de conservation multimatérielles
souhaitées. Dans cette approche, on compromet la raideur de l’interface du
matériau pour éviter les oscillations et pour appliquer un solveur HLLC précédemment développé pour un seul matériau dans [72]. D’autres développements
de cette méthode incluent la modélisation de la plasticité [63] et une procédure
de division de sous-systèmes hyperboliques [61] où chaque sous-système ne
comporte que trois ondes au lieu de sept.
L’approche que nous décrivons ci-dessous utilise des schémas d’intégration
numérique des lois de conservation Euleriennes de matériaux compressibles
hyperélastiques qui simplifient les calculs des flux numériques à l’interface du
matériau. Aucun matériau fantôme n’est défini et aucun modèle de mélange
n’est nécessaire pour obtenir un schéma non oscillatoire. Les détails de cette
méthode ainsi que des simulations sur les choc de bulles et des impacts de
projectiles (modélisés avec de la plasticité) sont présentés dans [79, 43, 44] et
dans la thèse d’Alexia de Brauer [42]. On présente dans la suite la discrétisation
des équations ainsi qu’un exemple de simulation numérique d’impact de
projectile de cuivre dans l’air en 3D.
4.4.1 Modèle et loi constitutive en compressible
Une fonction Level Set est utilisée pour suivre l’interface entre deux matériaux.
∂ t ϕ + u · ∇ϕ = 0.
(4.34)