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4 Corps solides immergés dans un fluide : le cas des solides élastiques
σ = μ([∇u] + [∇u]
T
) + H
ϕ
ε
σ S
(4.30)
où H est une fonction de Heaviside régularisée donnée par exemple par
H(r) =
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
1
si r ≤ −1,
1
2
1 − r −
sin(πr)
π
si − 1 ≤ r ≤ 1,
0
si r ≥ 1.
(4.31)
et 2ε est la largeur de l’interface entre le solide et le fluide. Par conséquent,
ϕ > ε correspond au domaine fluide et ϕ < −ε au domaine solide. Dans nos
simulations, ε est fixé à 2Δx, qui est une valeur standard utilisée dans la
littérature pour diffuser l’interface.
4.3.2 Illustrations numériques
Dans les exemples qui suivent, à l’exception de celui de la cellule cardiaque,
les schémas numériques pour la résolution des équations (4.29) reposent sur
une discrétisation par différences finies ou volumes finis sur grille cartésienne
décalée MAC. Une méthode de projection est utilisée pour résoudre les
équations de Navier-Stokes incompressibles et des schémas WENO pour la
partie transport des caractéristiques rétrogrades. Ces deux équations sont
découplées de manière explicite en temps. Les termes de transport et de
diffusion sont discrétisés en espace de manière classique avec des schémas
décentrés ou centrés. La force élastique est quand à elle discrétisée avec des
schémas centrés. Insistons sur le fait que on utilise exactement les mêmes
schémas que pour les membranes élastiques avec discrétisation explicite en
temps du couplage, avec la différence que la force élastique est localisée sur
tout le domaine élastique avec une fonction Heavyside au lieu d’être localisée
sur une surface à l’aide d’une masse de Dirac.
Balle élastique dans une cavité entraînée
Nous présentons dans cette section une simulation de la déformation d’une
balle élastique dans une cavité entraînée tirée de [46]. Ce cas test a été présenté
initialement dans [145] et [134]. La configuration initiale et les paramètres
physiques sont donnés dans la Figure 4.2 et la Table 4.1. La vitesse initiale
est nulle dans tout le domaine tandis qu’une vitesse horizontale de 1 m.s −1
est imposée en haut et une condition de non glissement est imposée aux
autres limites. Le calcul est effectué sur un maillage cartésien régulier utilisant
1024 2 points de discrétisation. Le pas de temps de cette simulation est fixé
à Δt = 10 −4 s. On choisit dans ces simulations la loi de comportement Néo-
4 Corps solides immergés dans un fluide : le cas des solides élastiques
σ = μ([∇u] + [∇u]
T
) + H
ϕ
ε
σ S
(4.30)
où H est une fonction de Heaviside régularisée donnée par exemple par
H(r) =
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
1
si r ≤ −1,
1
2
1 − r −
sin(πr)
π
si − 1 ≤ r ≤ 1,
0
si r ≥ 1.
(4.31)
et 2ε est la largeur de l’interface entre le solide et le fluide. Par conséquent,
ϕ > ε correspond au domaine fluide et ϕ < −ε au domaine solide. Dans nos
simulations, ε est fixé à 2Δx, qui est une valeur standard utilisée dans la
littérature pour diffuser l’interface.
4.3.2 Illustrations numériques
Dans les exemples qui suivent, à l’exception de celui de la cellule cardiaque,
les schémas numériques pour la résolution des équations (4.29) reposent sur
une discrétisation par différences finies ou volumes finis sur grille cartésienne
décalée MAC. Une méthode de projection est utilisée pour résoudre les
équations de Navier-Stokes incompressibles et des schémas WENO pour la
partie transport des caractéristiques rétrogrades. Ces deux équations sont
découplées de manière explicite en temps. Les termes de transport et de
diffusion sont discrétisés en espace de manière classique avec des schémas
décentrés ou centrés. La force élastique est quand à elle discrétisée avec des
schémas centrés. Insistons sur le fait que on utilise exactement les mêmes
schémas que pour les membranes élastiques avec discrétisation explicite en
temps du couplage, avec la différence que la force élastique est localisée sur
tout le domaine élastique avec une fonction Heavyside au lieu d’être localisée
sur une surface à l’aide d’une masse de Dirac.
Balle élastique dans une cavité entraînée
Nous présentons dans cette section une simulation de la déformation d’une
balle élastique dans une cavité entraînée tirée de [46]. Ce cas test a été présenté
initialement dans [145] et [134]. La configuration initiale et les paramètres
physiques sont donnés dans la Figure 4.2 et la Table 4.1. La vitesse initiale
est nulle dans tout le domaine tandis qu’une vitesse horizontale de 1 m.s −1
est imposée en haut et une condition de non glissement est imposée aux
autres limites. Le calcul est effectué sur un maillage cartésien régulier utilisant
1024 2 points de discrétisation. Le pas de temps de cette simulation est fixé
à Δt = 10 −4 s. On choisit dans ces simulations la loi de comportement Néo-