4.3 Modèle de couplage fluide / structure élastique en incompressible
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la région fluide. Le fluide situé près de l’interface peut être soumis à de
grandes déformations de cisaillement, ce qui peut provoquer une croissance
exponentielle de certaines composantes des caractéristiques rétrogrades. Ces
distorsions dans le fluide, si elles sont utilisées dans le schéma numérique
au voisinage de l’interface fluide-solide, peuvent entraîner des instabilités
numériques car le tenseur des contraintes est généralement diffusé sur quelques
points du maillage à l’intérieur du fluide.
Pour faire face à cette difficulté, différentes stratégies de discrétisation ont
été développées dans la littérature. Dans [118], les équations fluide-structure
sont discrétisées sur un maillage non structuré d’éléments finis et les déformations eulériennes sont extrapolées de manière linéaire dans le fluide. Dans
[134], le modèle est discrétisé avec un schéma de différences finies sur un
maillage cartésien et le tenseur élastique est lissé dans le fluide. Dans [140],
les équations fluide-structure sont discrétisées avec des différences finies sur
un maillage cartésien et les caractéristiques sont extrapolées dans le fluide.
Dans l’exemple décrit plus bas, c’est une extrapolation linéaire des caractéristiques rétrogrades qui est choisie dans le fluide avec la méthode de
Aslam [6]. Les détails de cette méthode ainsi que de nombreuses validations
et simulations numériques de ces modèles sont développés dans la thèse de
Julien Deborde [45] et dans l’article [46].
4.3.1 Modèle et loi constitutive en incompressible
Une fonction level set ϕ est utilisée pour capturer l’interface séparant le
fluide et le solide et vérifie l’équation de transport
∂ t ϕ + u · ∇ϕ = 0.
(4.28)
Le modèle complet est donné par
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
ρ(∂ t u + (u · ∇)u) + ∇p = div(σ),
div(u) = 0,
∂ t Y + (u · ∇)Y = 0,
∂ t ϕ + u · ∇ϕ = 0.
(4.29)
Notons que l’équation sur ϕ est redondante car la connaissance de Y permet
de résoudre n’importe quelle équation de transport (ϕ(x, t) = ϕ 0 (Y (x, t))).
Cependant on peut choisir de garder les deux pour des raisons numériques :
utiliser l’algorithme de redistanciation sur ϕ des extrapolations de Y dans le
fluide. C’est ce choix qui sera fait dans l’exemple décrit plus bas. Les fluides
et solides considérés ici sont visqueux donc
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la région fluide. Le fluide situé près de l’interface peut être soumis à de
grandes déformations de cisaillement, ce qui peut provoquer une croissance
exponentielle de certaines composantes des caractéristiques rétrogrades. Ces
distorsions dans le fluide, si elles sont utilisées dans le schéma numérique
au voisinage de l’interface fluide-solide, peuvent entraîner des instabilités
numériques car le tenseur des contraintes est généralement diffusé sur quelques
points du maillage à l’intérieur du fluide.
Pour faire face à cette difficulté, différentes stratégies de discrétisation ont
été développées dans la littérature. Dans [118], les équations fluide-structure
sont discrétisées sur un maillage non structuré d’éléments finis et les déformations eulériennes sont extrapolées de manière linéaire dans le fluide. Dans
[134], le modèle est discrétisé avec un schéma de différences finies sur un
maillage cartésien et le tenseur élastique est lissé dans le fluide. Dans [140],
les équations fluide-structure sont discrétisées avec des différences finies sur
un maillage cartésien et les caractéristiques sont extrapolées dans le fluide.
Dans l’exemple décrit plus bas, c’est une extrapolation linéaire des caractéristiques rétrogrades qui est choisie dans le fluide avec la méthode de
Aslam [6]. Les détails de cette méthode ainsi que de nombreuses validations
et simulations numériques de ces modèles sont développés dans la thèse de
Julien Deborde [45] et dans l’article [46].
4.3.1 Modèle et loi constitutive en incompressible
Une fonction level set ϕ est utilisée pour capturer l’interface séparant le
fluide et le solide et vérifie l’équation de transport
∂ t ϕ + u · ∇ϕ = 0.
(4.28)
Le modèle complet est donné par
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
ρ(∂ t u + (u · ∇)u) + ∇p = div(σ),
div(u) = 0,
∂ t Y + (u · ∇)Y = 0,
∂ t ϕ + u · ∇ϕ = 0.
(4.29)
Notons que l’équation sur ϕ est redondante car la connaissance de Y permet
de résoudre n’importe quelle équation de transport (ϕ(x, t) = ϕ 0 (Y (x, t))).
Cependant on peut choisir de garder les deux pour des raisons numériques :
utiliser l’algorithme de redistanciation sur ϕ des extrapolations de Y dans le
fluide. C’est ce choix qui sera fait dans l’exemple décrit plus bas. Les fluides
et solides considérés ici sont visqueux donc