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4 Corps solides immergés dans un fluide : le cas des solides élastiques
où la pression est définie par p(ρ, s) = ρ 2 ∂ε
∂ρ et où la dérivée est calculée
à entropie fixée. Les deux équations précédentes permettent de fermer le
système de conservation de l’élasticité Eulérienne compressible suivant
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
∂ t ρ + div(ρu) = 0,
∂ t (ρu) + div(ρu ⊗ u − σ) = 0,
∂ t (∇Y ) + ∇(u · ∇Y ) = 0,
∂ t (ρe) + div(ρeu − σ
T u) = 0.
(4.27)
En effet, l’équation (4.25) permet d’exprimer s en fonction de ε, ρ et
∇Y . En remplacant cette expression de s dans (4.26) et en utilisant la
définition e = ε −
1
2 |u| 2 de l’énergie totale on obtient σ comme une fonction
de ρ, u, ∇Y et e. Comme σ dépend directement de ∇Y on a pris le gradient
de l’équation de transport sur les caractéristiques rétrogrades afin d’écrire
l’ensemble des équations (4.27) comme un système de lois de conservation de
la forme ∂ t Ψ + div(F (Ψ )) = 0. Cette forme permettra d’étudier les propriétés
d’hyperbolicité (vitesse des ondes, chocs, détentes, etc) et de mettre en place
de schémas numériques adaptés.
4.3 Modèle de couplage fluide / structure élastique en
incompressible
On s’intéresse maintenant au couplage entre une structure élastique et un
fluide visqueux incompressible. La formulation complètement Eulerienne de
l’élasticité va permettre de modéliser l’interaction fluide-structure comme
un fluide complexe. Les forces élastiques sont ajoutées dans les équations
fluides en tant que terme source et discrétisées sur la même grille que le fluide.
Insistons ici sur le fait que le solide est aussi supposé incompressible et que la
contrainte de divergence nulle est appliquée sur tout le domaine de calcul.
Cette formulation de l’élasticité eulérienne volumique a été développée
par plusieurs équipes [38, 134, 140, 118]. L’approche repose sur les trois
composantes des caractéristiques rétrogrades Y (également appelée reference
map dans [140]) qui est simplement advectée par la vitesse du fluide et ses
dérivées spatiales permettent de calculer la contrainte élastique. Dans [134]
les auteurs, au lieu de l’équation d’advection sur les caractéristiques rétrogrades, ont utilisé une équation eulérienne sur les six composantes du tenseur
symétrique élastique de Cauchy Green B = [∇Y ] −1 [∇Y ] −T . Il s’agit d’une
équation d’advection qui contient également deux termes supplémentaires
faisant intervenir le gradient de vitesse.
Dans ce contexte eulérien, les caractéristiques rétrogrades, et donc le
tenseur élastique, sont calculés sur tout le domaine et en particulier dans
4 Corps solides immergés dans un fluide : le cas des solides élastiques
où la pression est définie par p(ρ, s) = ρ 2 ∂ε
∂ρ et où la dérivée est calculée
à entropie fixée. Les deux équations précédentes permettent de fermer le
système de conservation de l’élasticité Eulérienne compressible suivant
⎧
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⎩
∂ t ρ + div(ρu) = 0,
∂ t (ρu) + div(ρu ⊗ u − σ) = 0,
∂ t (∇Y ) + ∇(u · ∇Y ) = 0,
∂ t (ρe) + div(ρeu − σ
T u) = 0.
(4.27)
En effet, l’équation (4.25) permet d’exprimer s en fonction de ε, ρ et
∇Y . En remplacant cette expression de s dans (4.26) et en utilisant la
définition e = ε −
1
2 |u| 2 de l’énergie totale on obtient σ comme une fonction
de ρ, u, ∇Y et e. Comme σ dépend directement de ∇Y on a pris le gradient
de l’équation de transport sur les caractéristiques rétrogrades afin d’écrire
l’ensemble des équations (4.27) comme un système de lois de conservation de
la forme ∂ t Ψ + div(F (Ψ )) = 0. Cette forme permettra d’étudier les propriétés
d’hyperbolicité (vitesse des ondes, chocs, détentes, etc) et de mettre en place
de schémas numériques adaptés.
4.3 Modèle de couplage fluide / structure élastique en
incompressible
On s’intéresse maintenant au couplage entre une structure élastique et un
fluide visqueux incompressible. La formulation complètement Eulerienne de
l’élasticité va permettre de modéliser l’interaction fluide-structure comme
un fluide complexe. Les forces élastiques sont ajoutées dans les équations
fluides en tant que terme source et discrétisées sur la même grille que le fluide.
Insistons ici sur le fait que le solide est aussi supposé incompressible et que la
contrainte de divergence nulle est appliquée sur tout le domaine de calcul.
Cette formulation de l’élasticité eulérienne volumique a été développée
par plusieurs équipes [38, 134, 140, 118]. L’approche repose sur les trois
composantes des caractéristiques rétrogrades Y (également appelée reference
map dans [140]) qui est simplement advectée par la vitesse du fluide et ses
dérivées spatiales permettent de calculer la contrainte élastique. Dans [134]
les auteurs, au lieu de l’équation d’advection sur les caractéristiques rétrogrades, ont utilisé une équation eulérienne sur les six composantes du tenseur
symétrique élastique de Cauchy Green B = [∇Y ] −1 [∇Y ] −T . Il s’agit d’une
équation d’advection qui contient également deux termes supplémentaires
faisant intervenir le gradient de vitesse.
Dans ce contexte eulérien, les caractéristiques rétrogrades, et donc le
tenseur élastique, sont calculés sur tout le domaine et en particulier dans