4.2 Matériaux hyperélastiques en formulation eulérienne
105
linéaire qui dépendent de deux paramètres élastiques λ et μ (les coefficients
de Lamé) ou de manière équivalente E et ν (le module de Young et le
coefficient de Poisson). On peut montrer que si ν est proche de 1/2 alors, pour
une déformation infinitésimale, le volume est quasiment conservé localement.
Cependant on doit toujours avoir ν < 1/2 car les formules sont singulières
en 1/2. Insistons sur le fait que ces deux notions de l’incompressibilité sont
différentes, celle faisant intervenir la divergence nulle permettant d’imposer
exactement J = 1 en restant valable même si le solide subit de grandes
déformations. Notons qu’en régime incompressible l’équation sur l’énergie
n’est pas couplée à l’équation sur la quantité de mouvement.
On obtient finalement les équations suivantes pour un milieu élastique
incompressible (on utilise ici les formes non conservatives des équations)
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
ρ(∂ t u + (u · ∇)u) + ∇p = div(σ iso (∇Y )),
div(u) = 0,
∂ t Y + (u · ∇)Y = 0.
(4.24)
Ce modèle de type fluide complexe est donc une extension des équations de
Navier-Stokes avec un terme source élastique qui est calculé à l’aide de trois
fonctions Level Set (les trois composantes du vecteur Y ) qui sont transportées
par l’écoulement.
4.2.4 Elasticité eulérienne en compressible
Les équations compressibles de l’élasticité sont utilisées lorsque les matériaux peuvent changer localement de volume et elles sont le plus souvent
utilisées pour l’étude de phénomènes transitoires. Lorsque l’on s’intéresse à
des milieux compressibles, l’équation sur l’énergie n’est plus découplée des
équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement. Il est
également important de considérer les formes conservatives des équations car
les solutions de ces équations peuvent développer des discontinuités en temps
fini (ondes de chocs ou discontinuités de contact).
Dans ce contexte compressible on introduit, par analogie avec la modélisation des gaz, une formulation avec une énergie par unité de masse ε = ρW
plutôt que par unité de volume. De plus, on fait intervenir la thermodynamique
uniquement dans la partie volumique en introduisant l’entropie s
ε = ε vol (ρ, s) + ε iso (Tr(B), Tr(Cof(B))).
(4.25)
On obtient alors en utilisant (4.22) et J =
ρ 0
ρ (2.22)
σ = −p(ρ, s)I + σ iso (∇Y ),
(4.26)
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linéaire qui dépendent de deux paramètres élastiques λ et μ (les coefficients
de Lamé) ou de manière équivalente E et ν (le module de Young et le
coefficient de Poisson). On peut montrer que si ν est proche de 1/2 alors, pour
une déformation infinitésimale, le volume est quasiment conservé localement.
Cependant on doit toujours avoir ν < 1/2 car les formules sont singulières
en 1/2. Insistons sur le fait que ces deux notions de l’incompressibilité sont
différentes, celle faisant intervenir la divergence nulle permettant d’imposer
exactement J = 1 en restant valable même si le solide subit de grandes
déformations. Notons qu’en régime incompressible l’équation sur l’énergie
n’est pas couplée à l’équation sur la quantité de mouvement.
On obtient finalement les équations suivantes pour un milieu élastique
incompressible (on utilise ici les formes non conservatives des équations)
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
ρ(∂ t u + (u · ∇)u) + ∇p = div(σ iso (∇Y )),
div(u) = 0,
∂ t Y + (u · ∇)Y = 0.
(4.24)
Ce modèle de type fluide complexe est donc une extension des équations de
Navier-Stokes avec un terme source élastique qui est calculé à l’aide de trois
fonctions Level Set (les trois composantes du vecteur Y ) qui sont transportées
par l’écoulement.
4.2.4 Elasticité eulérienne en compressible
Les équations compressibles de l’élasticité sont utilisées lorsque les matériaux peuvent changer localement de volume et elles sont le plus souvent
utilisées pour l’étude de phénomènes transitoires. Lorsque l’on s’intéresse à
des milieux compressibles, l’équation sur l’énergie n’est plus découplée des
équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement. Il est
également important de considérer les formes conservatives des équations car
les solutions de ces équations peuvent développer des discontinuités en temps
fini (ondes de chocs ou discontinuités de contact).
Dans ce contexte compressible on introduit, par analogie avec la modélisation des gaz, une formulation avec une énergie par unité de masse ε = ρW
plutôt que par unité de volume. De plus, on fait intervenir la thermodynamique
uniquement dans la partie volumique en introduisant l’entropie s
ε = ε vol (ρ, s) + ε iso (Tr(B), Tr(Cof(B))).
(4.25)
On obtient alors en utilisant (4.22) et J =
ρ 0
ρ (2.22)
σ = −p(ρ, s)I + σ iso (∇Y ),
(4.26)