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4 Corps solides immergés dans un fluide : le cas des solides élastiques
microscopique. Les lois constitutives obéissent à des principes physiques
(indifférence matérielle, isotropie, etc) et le choix dépend du comportement
du matériau en petites/grandes déformations, compression, cisaillement, etc.
Nous pouvons citer la loi de Mooney-Rivlin
W iso = χ 1 (Tr(B) − 3) + χ 2 (Tr(B
−1 ) − 3),
avec comme cas particulier la loi Néo-hookéenne qui correspond à la valeur
χ 2 = 0. Citons également la loi de Saint-Venant Kirchoff
W iso =
χ 1
2
Tr(E)
2
+ χ 2 Tr(E
2
)
avec
E =
1
2
(C − I).
Dans ces énergies, les paramètres χ i sont les coefficients élastiques dont
l’unité est le Pascal.
Il existe également des lois anisotropes qui modélisent des matériaux qui ne
se comportent pas de la même manière dans toutes les directions. Par exemple,
un matériau avec une direction privilégiée τ dont la réponse élastique est la
même par rotation autour de cette direction et aussi en remplaçant τ par −τ
(cas souvent rencontré pour des tissus biologiques comme on le verra plus bas)
est dit transverse isotrope. Dans ce cas l’énergie dépend de (Tr(B), Tr(B −1 ))
mais également de τ T B −2 τ et τ T B −1 τ et le tenseur des contraintes σ dépend
des quantités (∇Y −1 τ ) ⊗ (∇Y −1 τ ) et (∇Y −1 τ ) ⊗ (B∇Y −1 τ ) + (B∇Y −1 τ ) ⊗
(∇Y −1 τ ) [110]. Un exemple d’une telle loi est donné dans l’application à la
contraction d’une cellule cardiaque qui sera considérée en (4.33). Il existe
toute une littérature sur les lois de comportement élastiques et on renvoie à
nouveau à l’ouvrage [86] pour plus de détails.
4.2.3 Elasticité eulérienne en incompressible
Un milieu est dit incompressible si il vérifie la condition J = det(∇X) = 1
en tout point. En utilisant une formule de Reynolds, on peut alors montrer
que l’équivalent eulérien correspond à la contrainte div(u) = 0 localement.
Il est intéressant de noter que cette contrainte est linéaire (contrairement
à la version Lagrangienne J = 1 qui est non linéaire). Afin d’imposer cette
contrainte, on introduit classiquement une pression p qui est un multiplicateur
de Lagrange associé à la contrainte div(u) = 0. On peut alors montrer que le
tenseur des contraintes (4.22) s’écrit
σ(x, t) = −pI + σ iso (∇Y ).
(4.23)
Comme la contrainte de divergence nulle est linéaire, il est relativement
simple de trouver p à l’aide d’une méthode de projection par exemple. Lorsque
l’on travaille en petites déformations on peut utiliser les modèles de l’élasticité
4 Corps solides immergés dans un fluide : le cas des solides élastiques
microscopique. Les lois constitutives obéissent à des principes physiques
(indifférence matérielle, isotropie, etc) et le choix dépend du comportement
du matériau en petites/grandes déformations, compression, cisaillement, etc.
Nous pouvons citer la loi de Mooney-Rivlin
W iso = χ 1 (Tr(B) − 3) + χ 2 (Tr(B
−1 ) − 3),
avec comme cas particulier la loi Néo-hookéenne qui correspond à la valeur
χ 2 = 0. Citons également la loi de Saint-Venant Kirchoff
W iso =
χ 1
2
Tr(E)
2
+ χ 2 Tr(E
2
)
avec
E =
1
2
(C − I).
Dans ces énergies, les paramètres χ i sont les coefficients élastiques dont
l’unité est le Pascal.
Il existe également des lois anisotropes qui modélisent des matériaux qui ne
se comportent pas de la même manière dans toutes les directions. Par exemple,
un matériau avec une direction privilégiée τ dont la réponse élastique est la
même par rotation autour de cette direction et aussi en remplaçant τ par −τ
(cas souvent rencontré pour des tissus biologiques comme on le verra plus bas)
est dit transverse isotrope. Dans ce cas l’énergie dépend de (Tr(B), Tr(B −1 ))
mais également de τ T B −2 τ et τ T B −1 τ et le tenseur des contraintes σ dépend
des quantités (∇Y −1 τ ) ⊗ (∇Y −1 τ ) et (∇Y −1 τ ) ⊗ (B∇Y −1 τ ) + (B∇Y −1 τ ) ⊗
(∇Y −1 τ ) [110]. Un exemple d’une telle loi est donné dans l’application à la
contraction d’une cellule cardiaque qui sera considérée en (4.33). Il existe
toute une littérature sur les lois de comportement élastiques et on renvoie à
nouveau à l’ouvrage [86] pour plus de détails.
4.2.3 Elasticité eulérienne en incompressible
Un milieu est dit incompressible si il vérifie la condition J = det(∇X) = 1
en tout point. En utilisant une formule de Reynolds, on peut alors montrer
que l’équivalent eulérien correspond à la contrainte div(u) = 0 localement.
Il est intéressant de noter que cette contrainte est linéaire (contrairement
à la version Lagrangienne J = 1 qui est non linéaire). Afin d’imposer cette
contrainte, on introduit classiquement une pression p qui est un multiplicateur
de Lagrange associé à la contrainte div(u) = 0. On peut alors montrer que le
tenseur des contraintes (4.22) s’écrit
σ(x, t) = −pI + σ iso (∇Y ).
(4.23)
Comme la contrainte de divergence nulle est linéaire, il est relativement
simple de trouver p à l’aide d’une méthode de projection par exemple. Lorsque
l’on travaille en petites déformations on peut utiliser les modèles de l’élasticité