4.2 Matériaux hyperélastiques en formulation eulérienne
103
Il est donc possible de retrouver la densité à l’aide des caractéristiques
rétrogrades. En utilisant la relation (4.2.1), le tenseur de Cauchy Green à
gauche (4.15) se réecrit en ξ = Y (x, t)
˜
B(Y (x, t),t) = [∇ x Y (x, t)]
−1
[∇ x Y (x, t)]
−T
= B(x, t).
(4.19)
On introduit également J(x, t) = ˜
J(Y (x, t),t). L’expression du tenseur de
Cauchy en eulérien est donc donnée par l’expression
σ(x, t) = 2J
−1
∂W
∂c
det(B)I +
∂W
∂a
+ Tr(B)
∂W
∂b
B −
∂W
∂b
B
2
. (4.20)
Ce tenseur de Cauchy est écrit sur la configuration déformée et il est ici
calculé de manière Eulérienne car il dépend des caractéristiques rétrogrades
Y (x, t).
Il est intéressant dans la pratique de décomposer l’énergie en une partie
qui ne dépend que du volume et une partie partie isochore qui ne dépend que
du "cisaillement". Cette formulation se révèle très utile en compressible car
elle permet de modéliser aussi bien des gaz (parfaits, de type Van der Waals
etc), des fluides non visqueux (avec lois "stiffened gas") ainsi que des solides
élastiques (Néo-hookéen par exemple). Décomposons l’énergie de la manière
suivante :
W = W vol ( ˜
J) + W iso (Tr(B), Tr(Cof(B))),
(4.21)
où B(x, t) =
B(x,t)
det(B(x,t))
1
3
et J(x, t) = det(B(x, t))
1
2 . Remarquons que det(B) =
1 et c’est la raison pour laquelle on appelle cette partie isochore. Pour trouver
les expressions des contraintes il suffit de reprendre la formule (4.20) avec
W (a, b, c) = W vol (c
1
2 )
et
W (a, b, c) = W iso (c
− 1
3 a, c
− 2
3 b).
On obtient avec la formule (4.20)
σ(x, t) = W
vol (J)I + 2J
−1
σ iso −
Tr(σ iso )
3
I
,
(4.22)
avec
σ iso =
∂W iso
∂a
B −
∂W iso
∂b
B
−1 .
4.2.2 Lois de comportement élastiques
Les lois constitutives en élasticité sont phénoménologiques c’est à dire
qu’elles ne proviennent pas, contrairement aux gaz, de physique statistique