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4 Corps solides immergés dans un fluide : le cas des solides élastiques
4.2 Matériaux hyperélastiques en formulation eulérienne
4.2.1 Calcul du tenseur des contraintes en Eulerien
Le tenseur T (ou de manière équivalente le tenseur Σ) permet de calculer
les contraintes dans la configuration de référence. Cependant le tenseur des
contraintes dans la configuration déformée est plus simple à interpréter physiquement. Dans ce cas, il faut calculer le tenseur σ à l’aide des caractéristiques
directes X(t, ξ). Pour ce faire on utilise la relation σ Cof([∇X]) = T , (2.27) et
(4.7)
σ(X(t, ξ),t) = ˜
J(ξ, t)
−1
[∇ ξ X(t, ξ))]Σ(ξ, t)[∇ ξ X(t, ξ))]
T ,
(4.14)
où ˜
J(ξ, t) = det(∇ ξ X(t, ξ)). Après avoir introduit le tenseur de Cauchy
Green à gauche
˜
B(ξ, t) = [∇ ξ X(t, ξ))][∇ ξ X(t, ξ))]
T .
(4.15)
Nous avons les relations suivantes
[∇ ξ X]I[∇ ξ X]
T
= ˜
B, [∇ ξ X]C
−1
[∇ ξ X]
T
= I, [∇ ξ X]C[∇ ξ X]
T
= ˜
B
2 . (4.16)
En utilisant (4.10) et (4.16), l’expression (4.14) devient (on utilise aussi le
fait que ˜
B et C ont les mêmes invariants)
σ(X(t, ξ),t) = 2 ˜
J
−1
∂W
∂c
det( ˜
B)I +
∂W
∂a
+ Tr( ˜
B)
∂W
∂b
˜
B −
∂W
∂b
˜
B
2
.
(4.17)
Remarquons que ce tenseur de Cauchy est écrit sur la configuration déformée
mais qu’il est calculé de manière lagrangienne car il dépend des caractéristiques
directes X(t, ξ). Afin d’écrire ce tenseur en formulation eulérienne nous allons
utiliser les caractéristiques rétrogrades Y (x, t) définies comme "l’inverse" des
caractéristiques directes X(t, ξ). Rappelons que ces caractéristiques vérifient
Y (X(t, ξ),t) = ξ et que la dérivation de cette équation par rapport à t et ξ
donne
∂ t Y + (u · ∇)Y = 0,
[∇ ξ X(t, ξ)] = [∇ x Y (x, t)]
−1 .
Dans la formulation eulérienne nous avons une équation supplémentaire
liée à la conservation de la masse (2.20). En repartant de (2.22) et en utilisant
Y ,
ρ(x, t) = det(∇ x Y (x, t))ρ 0 (Y (x, t)).
(4.18)