4.1 Matériaux hyperélastiques en formulation lagrangienne
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4.1.3 Calcul du tenseur des contraintes en Lagrangien
Calculons maintenant le tenseur des contraintes associé à l’énergie (4.9).
En utilisant (4.7)
Σ
2
=
∂W (ι C )
∂C
=
∂W
∂a
∂ Tr(C)
∂C
+
∂W
∂b
∂ Tr(Cof(C))
∂C
+
∂W
∂c
∂ det(C)
∂C
.
On a les développements suivants (C est symétrique)
Tr(C + H) = Tr(C) + Tr(H),
Tr(Cof(C + H)) = Tr(Cof(C)) + Tr((Tr(C)I − C)H) + o(|H|),
det(C + H) = det(C) + det(C)Tr(C
−1 H) + o(|H|).
Nous obtenons donc
Σ
2
=
∂W
∂a
+ Tr(C)
∂W
∂b
I −
∂W
∂b
C +
∂W
∂c
det(C)C
−1 .
(4.10)
Le théorème de Cayley-Hamilton s’écrit
C
3
− Tr(C)C
2
+ Tr(Cof(C))C − det(C)I = 0.
(4.11)
On a donc det(C)C −1 = C 2 − Tr(C)C + Tr(Cof(C))I ce qui permet de réécrire
le tenseur des contraintes en fonction de (I, C, C 2 ) si nécessaire. Les équations
de l’élasticité sont finalement données par
ρ 0 ∂
2
tt X = div([∇X]Σ),
(4.12)
où Σ dépend de manière non linéaire de X(t, ξ) (4.10). Ces équations sont
posées sur le domaine de référence Ω 0 et sont complétées de conditions initiales
et limites appropriées. Remarquons ici que si l’on considère un milieu élastique
incompressible, il faut imposer la condition
J = det(∇ ξ X(t, ξ)) = 1,
(4.13)
ce qui n’est pas trivial car cette contrainte est une équation non linéaire.
Pour ce faire, il faut écrire le premier tenseur de Piola Kirchhoff sous la
forme T = −p[∇X] −T + ˜
T où p désigne le multiplicateur de Lagrange scalaire
qui permet d’imposer la contrainte (4.13). On verra par la suite que cette
condition d’incompressibilité devient linéaire en Eulérien et plus simple à
imposer numériquement à travers une condition de divergence nulle sur le
champ de vitesse u est nulle.