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4 Corps solides immergés dans un fluide : le cas des solides élastiques
Cette relation est l’une des raisons pour lesquelles on introduit ce tenseur.
4.1.2 Materiaux isotropes
Les matériaux vérifient souvent des propriétés de symétrie. Ils sont dits
isotropes s’ils se comportent de la même manière dans toutes les directions.
Pour simplifier l’exposé, on se placera dans ce chapitre essentiellement dans ce
cas. Cependant nous donnerons aussi plus bas (section 4.3.2) une illustration
numérique pour un cas d’élasticité anisotrope. Dans le cas isotrope, l’énergie
associée vérifie
∀Q ∈ SO(3) W (F Q) = W (F ).
(4.8)
L’interprétation géométrique de cette définition est la suivante : l’énergie est
invariante si on applique une rotation puis la déformation (voir la Figure
4.1). Lorsque cette relation n’est vérifiée que pour certaines rotations, le
matériau est dit anisotrope. On peut montrer que l’énergie d’un matériau qui
est isotrope et qui vérifie le principe d’indifférence matérielle s’écrit
W = W (ι C(ξ,t) )
(4.9)
où ι C = (Tr(C), Tr(Cof(C)), det(C)) sont les trois invariants de C. Il est aisé
de montrer que une énergie du type (4.9) vérifie (4.3) et (4.8). La réciproque est
plus délicate et la preuve est purement algébrique. Dans le cas d’un matériau
anisotrope l’énergie dépend de C mais également de tenseurs construits avec
C et les directions privilégiées d’anisotropie.
Fig. 4.1: Illustration du principe de l’indifférence matérielle et de l’isotropie.
4 Corps solides immergés dans un fluide : le cas des solides élastiques
Cette relation est l’une des raisons pour lesquelles on introduit ce tenseur.
4.1.2 Materiaux isotropes
Les matériaux vérifient souvent des propriétés de symétrie. Ils sont dits
isotropes s’ils se comportent de la même manière dans toutes les directions.
Pour simplifier l’exposé, on se placera dans ce chapitre essentiellement dans ce
cas. Cependant nous donnerons aussi plus bas (section 4.3.2) une illustration
numérique pour un cas d’élasticité anisotrope. Dans le cas isotrope, l’énergie
associée vérifie
∀Q ∈ SO(3) W (F Q) = W (F ).
(4.8)
L’interprétation géométrique de cette définition est la suivante : l’énergie est
invariante si on applique une rotation puis la déformation (voir la Figure
4.1). Lorsque cette relation n’est vérifiée que pour certaines rotations, le
matériau est dit anisotrope. On peut montrer que l’énergie d’un matériau qui
est isotrope et qui vérifie le principe d’indifférence matérielle s’écrit
W = W (ι C(ξ,t) )
(4.9)
où ι C = (Tr(C), Tr(Cof(C)), det(C)) sont les trois invariants de C. Il est aisé
de montrer que une énergie du type (4.9) vérifie (4.3) et (4.8). La réciproque est
plus délicate et la preuve est purement algébrique. Dans le cas d’un matériau
anisotrope l’énergie dépend de C mais également de tenseurs construits avec
C et les directions privilégiées d’anisotropie.
Fig. 4.1: Illustration du principe de l’indifférence matérielle et de l’isotropie.