4.1 Matériaux hyperélastiques en formulation lagrangienne
99
Un matériau est dit hyper-élastique si le premier tenseur de Piola Kirchoff est
donné par la dérivée par rapport à ∇ ξ X d’une énergie volumique par unité
de volume W
T (ξ, t) =
∂W
∂F
(∇ ξ X).
(4.2)
Les énergies que l’on considère en pratique ne sont pas quelconques, elles
doivent obéir à certains principes physiques.
4.1.1 Principe d’indifférence matérielle
On note F = ∇ ξ X et Q une rotation quelconque appartenant à SO(3).
L’énergie doit vérifier le principe d’indifférence matérielle (AIM) qui s’écrit
∀Q ∈ SO(3) W (QF ) = W (F ).
(4.3)
L’interprétation géométrique de cette définition est la suivante : l’énergie
est invariante si on applique une rotation après la déformation (voir la Figure
4.1). On peut montrer que l’énergie associée à un matériau qui vérifie le
principe d’indifférence matérielle s’écrit
W = ˜
W (C(ξ, t)),
(4.4)
où C désigne le tenseur de Cauchy-Green à droite
C(ξ, t) = [∇ ξ X]
T
[∇ ξ X].
(4.5)
Cette nouvelle énergie dépend uniquement de C = F T F et plus directement
de F , il faut donc trouver un moyen de calculer T . Pour ce faire introduisons
W (F ) = ˜
W (F T F ). On a le développement limité suivant
W (F + H) = ˜
W (F
T F + F
T H + (F
T H)
T
+ H
T H)
= ˜
W (F
T F ) +
∂ ˜
W
∂C
(C) : (F
T H + (F
T H)
T
) + o(|H|).
Comme C est symétrique,
∂ ˜
W
∂C est une matrice symétrique et le terme
linéaire en H s’écrit 2[F
∂ ˜
W
∂C (C)][H]. En identifiant avec (4.1) on obtient donc
T = [∇ ξ X]Σ,
(4.6)
où Σ désigne le second tenseur de Piola Kirchhoff défini par
Σ = 2
∂ ˜
W
∂C
(C).
(4.7)