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4 Corps solides immergés dans un fluide : le cas des solides élastiques
Les modèles étant hyperboliques pour le compressible et paraboliques
pour l’incompressible, la résolution numérique des modèles repose sur des
schémas numériques bien différents : discrétisation par méthode de volumes
finis utilisant solveurs de Riemann pour le cas compressible ; méthodes de
différences finies et de projection pour le cas incompressible. C’est pourquoi
les modèles et schémas sont naturels pour des interactions ou le fluide et le
solide sont tous deux compressibles ou tous deux incompressibles. Le cas d’un
solide compressible couplé à un fluide visqueux incompressible pourrait être
aussi être pris en compte par ce type de méthodes, mais au détriment de leur
simplicité car il faudrait imposer la contrainte de divergence nulle du champ
de vitesses sur une partie seulement du domaine. Nous n’envisagerons pas ce
cas ici, mais un exemple rentrant dans cette catégorie pour des solides rigides
sera évoqué dans la section 5.5.
Après avoir présenté les équations générales des solides hyperélastiques en
formulation lagrangienne et eulérienne, on se focalisera sur la déclinaison des
modèles hyperélastiques eulériens en compressible et incompressible. On finira
ce chapitre en présentant deux illustrations d’interactions fluide-structure,
l’une dans le cas incompressible, l’autre dans le cas compressible.
4.1 Matériaux hyperélastiques en formulation
lagrangienne
On s’intéresse maintenant à la modélisation de matériaux élastiques. La
formulation lagrangienne est a priori la plus adaptée pour plusieurs raisons
— la surface libre bordant le solide élastique Ω t inconnue est prise en
compte en se ramenant la configuration de référence Ω 0
— les caractéristiques directes X(t, ξ) permettent de suivre la position des
points du solide par rapport à leur position initiale ξ et le tenseur ∇ ξ X
permet de calculer localement les déformations du milieu
— le tenseur des contraintes T (1er tenseur de Piola-Kirchhoff, défini par
(2.27)) s’exprime en fonction du tenseur des déformations ∇ ξ X ce qui
ferme le système.
Pour une description plus détaillée des concepts évoqués dans cette partie, on
pourra consulter [86]. Soit W : M 3 (R) → R une fonction définie sur l’ensemble
des matrices carrées de taille 3. Le développement limité de W s’écrit
W (F + H) = W (F ) +
∂W
∂F
(F ) : H + o(|H|)
(4.1)
et par définition
∂W
∂F
ij
=
∂W
∂F ij
et où A : B = Tr(A T B) désigne le produit
scalaire usuel sur les matrices.
4 Corps solides immergés dans un fluide : le cas des solides élastiques
Les modèles étant hyperboliques pour le compressible et paraboliques
pour l’incompressible, la résolution numérique des modèles repose sur des
schémas numériques bien différents : discrétisation par méthode de volumes
finis utilisant solveurs de Riemann pour le cas compressible ; méthodes de
différences finies et de projection pour le cas incompressible. C’est pourquoi
les modèles et schémas sont naturels pour des interactions ou le fluide et le
solide sont tous deux compressibles ou tous deux incompressibles. Le cas d’un
solide compressible couplé à un fluide visqueux incompressible pourrait être
aussi être pris en compte par ce type de méthodes, mais au détriment de leur
simplicité car il faudrait imposer la contrainte de divergence nulle du champ
de vitesses sur une partie seulement du domaine. Nous n’envisagerons pas ce
cas ici, mais un exemple rentrant dans cette catégorie pour des solides rigides
sera évoqué dans la section 5.5.
Après avoir présenté les équations générales des solides hyperélastiques en
formulation lagrangienne et eulérienne, on se focalisera sur la déclinaison des
modèles hyperélastiques eulériens en compressible et incompressible. On finira
ce chapitre en présentant deux illustrations d’interactions fluide-structure,
l’une dans le cas incompressible, l’autre dans le cas compressible.
4.1 Matériaux hyperélastiques en formulation
lagrangienne
On s’intéresse maintenant à la modélisation de matériaux élastiques. La
formulation lagrangienne est a priori la plus adaptée pour plusieurs raisons
— la surface libre bordant le solide élastique Ω t inconnue est prise en
compte en se ramenant la configuration de référence Ω 0
— les caractéristiques directes X(t, ξ) permettent de suivre la position des
points du solide par rapport à leur position initiale ξ et le tenseur ∇ ξ X
permet de calculer localement les déformations du milieu
— le tenseur des contraintes T (1er tenseur de Piola-Kirchhoff, défini par
(2.27)) s’exprime en fonction du tenseur des déformations ∇ ξ X ce qui
ferme le système.
Pour une description plus détaillée des concepts évoqués dans cette partie, on
pourra consulter [86]. Soit W : M 3 (R) → R une fonction définie sur l’ensemble
des matrices carrées de taille 3. Le développement limité de W s’écrit
W (F + H) = W (F ) +
∂W
∂F
(F ) : H + o(|H|)
(4.1)
et par définition
∂W
∂F
ij
=
∂W
∂F ij
et où A : B = Tr(A T B) désigne le produit
scalaire usuel sur les matrices.