xvi
Contents
14.3 Programs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
14.3.1 The SPECFUNPHYS Class Mathieufun .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
14.3.2 Additional SPECFUNPHYS Functions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
15 Orthogonal Polynomials: General Aspects . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
15.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
15.2 General Definitions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
15.3 The Classes orthpoly and polymeth . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
15.3.1 The Class orthpoly .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
15.3.2 The Class polymeth .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
15.4 Gegenbauer Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
15.4.1 The SPECFUNPHYS Class gegenbauerpoly
and gegenbauerx .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
15.5 Jacobi Polynomials .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
15.5.1 The SPECFUNPHYS Class Jacobipoly and Jacobix . . . . . . . 194
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
16 Hermite Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
16.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
16.2 Hermite Polynomials .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
16.2.1 The SPECFUNPHYS Class hermitepoly.. . . . . . . . . . . . . . 202
16.2.2 Evaluating Hermite Polynomials . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
16.3 Oscillator Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
16.3.1 Applications.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
17 Laguerre Polynomials .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
17.1 Laguerre Polynomials .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
17.1.1 General Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
17.1.2 Related Programs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
18 Chebyshev Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
18.1 Basic Properties and Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
18.1.1 Definition and Recurrence Formula . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
18.1.2 The Shifted Chebyshev Polynomials . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
18.1.3 Miscellaneous .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
18.2 Computational Aspects and Programs . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
18.2.1 Computational Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
18.2.2 Programs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
19 Bernoulli and Euler Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
19.1 Bernoulli Numbers and Bernoulli Polynomials .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
19.1.1 Equations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
19.1.2 Programs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Contents
14.3 Programs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
14.3.1 The SPECFUNPHYS Class Mathieufun .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
14.3.2 Additional SPECFUNPHYS Functions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
15 Orthogonal Polynomials: General Aspects . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
15.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
15.2 General Definitions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
15.3 The Classes orthpoly and polymeth . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
15.3.1 The Class orthpoly .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
15.3.2 The Class polymeth .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
15.4 Gegenbauer Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
15.4.1 The SPECFUNPHYS Class gegenbauerpoly
and gegenbauerx .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
15.5 Jacobi Polynomials .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
15.5.1 The SPECFUNPHYS Class Jacobipoly and Jacobix . . . . . . . 194
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
16 Hermite Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
16.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
16.2 Hermite Polynomials .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
16.2.1 The SPECFUNPHYS Class hermitepoly.. . . . . . . . . . . . . . 202
16.2.2 Evaluating Hermite Polynomials . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
16.3 Oscillator Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
16.3.1 Applications.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
17 Laguerre Polynomials .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
17.1 Laguerre Polynomials .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
17.1.1 General Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
17.1.2 Related Programs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
18 Chebyshev Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
18.1 Basic Properties and Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
18.1.1 Definition and Recurrence Formula . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
18.1.2 The Shifted Chebyshev Polynomials . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
18.1.3 Miscellaneous .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
18.2 Computational Aspects and Programs . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
18.2.1 Computational Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
18.2.2 Programs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
19 Bernoulli and Euler Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
19.1 Bernoulli Numbers and Bernoulli Polynomials .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
19.1.1 Equations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
19.1.2 Programs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227