Contents
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7.3 Program Details and Applications .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.3.1 The SPECFUNPHYS Class coulombwave.. . . . . . . . . . . . . . 106
7.3.2 The SPECFUNPHYS Class coulombscatt .. . . . . . . . . . . . 109
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8 Hypergeometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.1 The Hypergeometric Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2 Method of Computation.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.3 The SPECFUNPHYS-Class Gausshyp . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9 ϑ Functions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.2 Jacobi ϑ Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.2.1 General Equations and Computational Aspects . . . . . . . . . . . 124
9.2.2 TheSPECFUNPHYS Class jacobiTheta . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.3 Dedekind’s η Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.4 The Jacobi Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10 Jacobi Elliptic Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
10.2 The Elliptic Functions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
10.2.1 Equations and Computational Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
10.3 The Class ellipFun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
11 Elliptic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.2 Equations and Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
11.3 Programs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
12 Weierstraß Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
12.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
12.2 Fundamental Equations and Computation . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
12.3 The Class ellipWeier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Reference .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
13 Parabolic Cylinder Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
13.1 Equations and the Class paracylFun.. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
14 Mathieu Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
14.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
14.2 Fundamental Equations and Computation . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
14.2.1 Mathieu Differential Equation . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
14.2.2 Modified Mathieu Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
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7.3 Program Details and Applications .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.3.1 The SPECFUNPHYS Class coulombwave.. . . . . . . . . . . . . . 106
7.3.2 The SPECFUNPHYS Class coulombscatt .. . . . . . . . . . . . 109
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8 Hypergeometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.1 The Hypergeometric Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2 Method of Computation.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.3 The SPECFUNPHYS-Class Gausshyp . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9 ϑ Functions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.2 Jacobi ϑ Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.2.1 General Equations and Computational Aspects . . . . . . . . . . . 124
9.2.2 TheSPECFUNPHYS Class jacobiTheta . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.3 Dedekind’s η Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.4 The Jacobi Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10 Jacobi Elliptic Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
10.2 The Elliptic Functions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
10.2.1 Equations and Computational Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
10.3 The Class ellipFun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
11 Elliptic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.2 Equations and Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
11.3 Programs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
12 Weierstraß Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
12.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
12.2 Fundamental Equations and Computation . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
12.3 The Class ellipWeier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Reference .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
13 Parabolic Cylinder Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
13.1 Equations and the Class paracylFun.. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
14 Mathieu Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
14.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
14.2 Fundamental Equations and Computation . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
14.2.1 Mathieu Differential Equation . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
14.2.2 Modified Mathieu Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172