xiv
Contents
3.3 Legendre Functions of Integer Type .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1 Fundamental Equations and Computation.. . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.2 Application: Spherical Harmonics .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Associate Legendre Functions with Complex Indices .. . . . . . . . . . . . . 46
3.4.1 Fundamental Equations . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.2 Conical or Mehler Functions .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.3 Complex Legendre Functions .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Bessel and Airy Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Airy Functions and Related Functions . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.1 The Scorer Functions .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Bessel Functions and Related Functions . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.1 Bessel and Hankel Functions . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.2 Modified Bessel Functions .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3.3 Spherical Bessel Functions .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.4 Kelvin Functions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 The SPECFUNPHYS-Class Bessel . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Struve Functions and Related Functions . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Struve Functions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.1 Struve Functions H and K . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.2 Modified Struve Functions L and M . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2.3 The Class Struve .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3 The Anger Function and the Weber Function .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3.1 Anger Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3.2 Weber Function .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3.3 The Class Angweb.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Reference .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6 Confluent Hypergeometric Function . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.1 Confluent Hypergeometric Function of 1st and 2nd Kind.. . . . . . . . . 92
6.1.1 The Function 1F 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.1.2 The Function U and 2F 0 . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2 The Confluent Hypergeometric Limit Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3 The Whittaker Functions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4 The SPECFUNPHYS Class conhyp.. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7 Coulomb Wave Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2 The Coulomb Wave Functions.. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2.1 Partial Wave Coulomb Function . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2.2 Coulomb Wave Function: Parabolic Coordinates . . . . . . . . . 105
Contents
3.3 Legendre Functions of Integer Type .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1 Fundamental Equations and Computation.. . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.2 Application: Spherical Harmonics .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Associate Legendre Functions with Complex Indices .. . . . . . . . . . . . . 46
3.4.1 Fundamental Equations . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.2 Conical or Mehler Functions .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.3 Complex Legendre Functions .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Bessel and Airy Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Airy Functions and Related Functions . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.1 The Scorer Functions .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Bessel Functions and Related Functions . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.1 Bessel and Hankel Functions . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.2 Modified Bessel Functions .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3.3 Spherical Bessel Functions .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.4 Kelvin Functions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 The SPECFUNPHYS-Class Bessel . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Struve Functions and Related Functions . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Struve Functions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.1 Struve Functions H and K . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.2 Modified Struve Functions L and M . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2.3 The Class Struve .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3 The Anger Function and the Weber Function .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3.1 Anger Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3.2 Weber Function .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3.3 The Class Angweb.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Reference .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6 Confluent Hypergeometric Function . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.1 Confluent Hypergeometric Function of 1st and 2nd Kind.. . . . . . . . . 92
6.1.1 The Function 1F 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.1.2 The Function U and 2F 0 . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2 The Confluent Hypergeometric Limit Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3 The Whittaker Functions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4 The SPECFUNPHYS Class conhyp.. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7 Coulomb Wave Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2 The Coulomb Wave Functions.. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2.1 Partial Wave Coulomb Function . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2.2 Coulomb Wave Function: Parabolic Coordinates . . . . . . . . . 105