Contents
1 Gamma Functions, Beta Functions, and Related . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2 Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.1 Fundamental Equations . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.2 Computation of the Gamma Function .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.3 The Class gammalnC and gammaC . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3 The Pochhammer Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.4 The psi Function.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5 The Incomplete Gamma Functions .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5.1 Fundamental Equations . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.5.2 Computational Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5.3 Related Programs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Applications: Examples .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.1 Examples .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 The Beta Function .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.1 Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.2 The Class betalnC and betaC. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 The Incomplete Beta Function.. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8.1 Fundamental Equations . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8.2 Computational Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8.3 The Class incbetaC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Error Functions and Fresnel Integrals .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Error Functions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Fundamental Equations and Computation.. . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 erfComp and Applications . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Voigt Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Fresnel Integrals .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Legendre Polynomials and Legendre Functions . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Legendre Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
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1 Gamma Functions, Beta Functions, and Related . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2 Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.1 Fundamental Equations . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.2 Computation of the Gamma Function .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.3 The Class gammalnC and gammaC . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3 The Pochhammer Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.4 The psi Function.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5 The Incomplete Gamma Functions .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5.1 Fundamental Equations . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5.2 Computational Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5.3 Related Programs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Applications: Examples .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.1 Examples .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 The Beta Function .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.1 Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.2 The Class betalnC and betaC. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 The Incomplete Beta Function.. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8.1 Fundamental Equations . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8.2 Computational Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8.3 The Class incbetaC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Error Functions and Fresnel Integrals .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Error Functions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Fundamental Equations and Computation.. . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 erfComp and Applications . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Voigt Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Fresnel Integrals .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Legendre Polynomials and Legendre Functions . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1 Function Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Legendre Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
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