Contents
xvii
19.2 Euler Numbers and Euler Polynomials.. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
19.2.1 Equations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
19.2.2 Programs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
20 Riemann Zeta Function .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
20.1 Equations and Evaluation .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
20.1.1 Equations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
20.1.2 Evaluation .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
21 Piecewise Interpolation Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
21.1 Interpolation Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
21.1.1 Lagrange Interpolation Polynomials .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
21.1.2 Hermite Interpolation Polynomials . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
21.1.3 Extended Hermite Interpolation Polynomials .. . . . . . . . . . . . 242
21.2 Computational Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
21.3 The Finite Element Method .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
21.3.1 Example: The Hydrogen Atom . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
22 Wigner- and Clebsch-Gordan Coefficients . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
22.1 Fundamental Equations and Computation . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
22.1.1 Basic Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
22.1.2 Clebsch-Gordan Coefficients and Wigner 3j-Symbols . . . 253
22.1.3 Wigner 6j-Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
22.1.4 Wigner 9j-Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
22.2 Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
22.2.1 Clebsch-Gordan Coefficients and Wigner 3j-symbols .. . . 255
22.2.2 Wigner 6j-Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
22.2.3 Wigner 9j-Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
23 Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
23.1 Separability in Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
23.2 Programs and Computational Aspects . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
23.2.1 The SPECFUNPHYS Class CoordTrafo .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
23.2.2 Ellipsoidal Coordinates and Cone Coordinates . . . . . . . . . . . 272
23.2.3 Hyperspherical Coordinates .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Index . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
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19.2 Euler Numbers and Euler Polynomials.. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
19.2.1 Equations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
19.2.2 Programs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
20 Riemann Zeta Function .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
20.1 Equations and Evaluation .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
20.1.1 Equations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
20.1.2 Evaluation .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
21 Piecewise Interpolation Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
21.1 Interpolation Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
21.1.1 Lagrange Interpolation Polynomials .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
21.1.2 Hermite Interpolation Polynomials . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
21.1.3 Extended Hermite Interpolation Polynomials .. . . . . . . . . . . . 242
21.2 Computational Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
21.3 The Finite Element Method .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
21.3.1 Example: The Hydrogen Atom . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
22 Wigner- and Clebsch-Gordan Coefficients . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
22.1 Fundamental Equations and Computation . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
22.1.1 Basic Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
22.1.2 Clebsch-Gordan Coefficients and Wigner 3j-Symbols . . . 253
22.1.3 Wigner 6j-Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
22.1.4 Wigner 9j-Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
22.2 Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
22.2.1 Clebsch-Gordan Coefficients and Wigner 3j-symbols .. . . 255
22.2.2 Wigner 6j-Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
22.2.3 Wigner 9j-Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
23 Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
23.1 Separability in Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
23.2 Programs and Computational Aspects . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
23.2.1 The SPECFUNPHYS Class CoordTrafo .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
23.2.2 Ellipsoidal Coordinates and Cone Coordinates . . . . . . . . . . . 272
23.2.3 Hyperspherical Coordinates .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
References .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
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