10.1 Basic Properties of the Tensor Inner Product Operations …
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Let A be a tensor of order m, A = a 1 a 2 · · · a m , B and C are both tensors of order
n, with m ≤ n, B = B m B n−m = b 1 b 2 · · · b m b m+1 · · · b n , C = C n−m C n−m+1,n =
c 1 c 2 · · · c n−m c n−m+1 · · · c n , where, B m = b 1 b 2 · · · b m , B n−m = b m+1 · · · b n , C n−m =
c 1 c 2 · · · c n−m , C n−m+1,n = c n−m+1 · · · c n , then the m time series type cross product
A m
× B of A and B then the n time series inner product of A m
× B and C has the
following operation properties
A m
× B n
· C = C n
· A m
× B = a 1 a 2 · · · a m m
× b 1 b 2 · · · b n n
· c 1 c 2 · · · c n
= (a 1 × b m )(a 2 × b m−1 ) · · · (a m × b 1 )b m+1 b m+2 · · · b n n
· c 1 c 2 · · · c n
= a 1 · (b m × c n )a 2 · (b m−1 × c n−1 ) · · · a m
· (b 1 × c n−m+1 )(b m+1 · c n−m )(b m+2 · c n−m−1 ) · · · (b n · c 1 )
= a 1 a 2 · · · a m m
· [b 1 b 2 · · · b n m×
(n − m)· c 1 c 2 · · · c n−m c n · · · c n−m+1 ]
= B m×
(n − m)· C n−m C
T
n−m+1,n
m
· A
= a 1 a 2 · · · a m m
· (b 1 b 2 · · · b m m
× C
T n − m
· b n b n−1 · · · b m+1 )
= A m
· (B m m
× C
T n − m
· B
T
n−m ) = (B m m
× C
T n − m
· B
T
n−m ) m
· A
= (c n × a 1 ) · b m (c n−1 × a 2 ) · b m−1 · · · (c n−m+1 × a m )
· b 1 (c n−m · b m+1 )(c n−m−1 · b m+2 ) · · · (c 1 · b n )
= b 1 b 2 · · · b n n
· c 1 c 2 · · · c n−m c n · · · c n−m+2 c n−m+1 m
× a m a m−1 · · · a 1
= C n−m C
T
n−m+1,n
m
× A
T n
· B
(10.1.13)
Obviously, when m = n, Eq. (10.1.13) reduces to Eq. (10.1.10).
Let A be a tensor of order n, A = a 1 a 2 · · · a n , B is a tensor of order m, B =
b 1 b 2 · · · b m , C is a tensor of order n, C = C m C n−m = c 1 c 2 · · · c m c m+1 · · · c n , where
C m = c 1 c 2 · · · c m , C n−m = c m+1 c m+2 · · · c n , with m ≤ n, the m time series type
cross product A m
× B of A and B then the n time series type inner product of A m
× B
and C has the following operation properties
A m
× B n
· C = a 1 a 2 · · · a n m
× b 1 b 2 · · · b m n
· c 1 c 2 · · · c n = C n
· A m
× B
= a 1 a 2 · · · a n−m (a n−m+1 × b m )(a n−m+2 × b m−1 ) · · · (a n × b 1 ) n
· c 1 c 2 · · · c n
= (a 1 · c n )(a 2 · c n−1 ) · · · (a n−m · c m+1 )(a n−m+1 × b m )
· c m (a n−m+2 × b m−1 ) · c m−1 · · · (a n × b 1 ) · c 1
= (a 1 · c n )(a 2 · c n−1 ) · · · (a n−m · c m+1 )(c m × a n−m+1 )
· b m (c m−1 × a n−m+2 ) · b m−1 · · · (c 1 × a n ) · b 1
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Let A be a tensor of order m, A = a 1 a 2 · · · a m , B and C are both tensors of order
n, with m ≤ n, B = B m B n−m = b 1 b 2 · · · b m b m+1 · · · b n , C = C n−m C n−m+1,n =
c 1 c 2 · · · c n−m c n−m+1 · · · c n , where, B m = b 1 b 2 · · · b m , B n−m = b m+1 · · · b n , C n−m =
c 1 c 2 · · · c n−m , C n−m+1,n = c n−m+1 · · · c n , then the m time series type cross product
A m
× B of A and B then the n time series inner product of A m
× B and C has the
following operation properties
A m
× B n
· C = C n
· A m
× B = a 1 a 2 · · · a m m
× b 1 b 2 · · · b n n
· c 1 c 2 · · · c n
= (a 1 × b m )(a 2 × b m−1 ) · · · (a m × b 1 )b m+1 b m+2 · · · b n n
· c 1 c 2 · · · c n
= a 1 · (b m × c n )a 2 · (b m−1 × c n−1 ) · · · a m
· (b 1 × c n−m+1 )(b m+1 · c n−m )(b m+2 · c n−m−1 ) · · · (b n · c 1 )
= a 1 a 2 · · · a m m
· [b 1 b 2 · · · b n m×
(n − m)· c 1 c 2 · · · c n−m c n · · · c n−m+1 ]
= B m×
(n − m)· C n−m C
T
n−m+1,n
m
· A
= a 1 a 2 · · · a m m
· (b 1 b 2 · · · b m m
× C
T n − m
· b n b n−1 · · · b m+1 )
= A m
· (B m m
× C
T n − m
· B
T
n−m ) = (B m m
× C
T n − m
· B
T
n−m ) m
· A
= (c n × a 1 ) · b m (c n−1 × a 2 ) · b m−1 · · · (c n−m+1 × a m )
· b 1 (c n−m · b m+1 )(c n−m−1 · b m+2 ) · · · (c 1 · b n )
= b 1 b 2 · · · b n n
· c 1 c 2 · · · c n−m c n · · · c n−m+2 c n−m+1 m
× a m a m−1 · · · a 1
= C n−m C
T
n−m+1,n
m
× A
T n
· B
(10.1.13)
Obviously, when m = n, Eq. (10.1.13) reduces to Eq. (10.1.10).
Let A be a tensor of order n, A = a 1 a 2 · · · a n , B is a tensor of order m, B =
b 1 b 2 · · · b m , C is a tensor of order n, C = C m C n−m = c 1 c 2 · · · c m c m+1 · · · c n , where
C m = c 1 c 2 · · · c m , C n−m = c m+1 c m+2 · · · c n , with m ≤ n, the m time series type
cross product A m
× B of A and B then the n time series type inner product of A m
× B
and C has the following operation properties
A m
× B n
· C = a 1 a 2 · · · a n m
× b 1 b 2 · · · b m n
· c 1 c 2 · · · c n = C n
· A m
× B
= a 1 a 2 · · · a n−m (a n−m+1 × b m )(a n−m+2 × b m−1 ) · · · (a n × b 1 ) n
· c 1 c 2 · · · c n
= (a 1 · c n )(a 2 · c n−1 ) · · · (a n−m · c m+1 )(a n−m+1 × b m )
· c m (a n−m+2 × b m−1 ) · c m−1 · · · (a n × b 1 ) · c 1
= (a 1 · c n )(a 2 · c n−1 ) · · · (a n−m · c m+1 )(c m × a n−m+1 )
· b m (c m−1 × a n−m+2 ) · b m−1 · · · (c 1 × a n ) · b 1