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10 Variational Problems of Functionals with Vector, Tensor …
= c n c n−1 · · · c 1 n
· a n a n−1 · · · a 1 n
× b n b n−1 b 1 = A T n
× B T n
· C T = (−1) n B n
× A n
· C T
= a 1 · (b n × c n )a 2 · (b n−1 × c n−1 ) · · · a n · (b 1 × c 1 )
= a 1 a 2 · · · a n n
· (b 1 b 2 · · · b n n
× c n c n−1 · · · c 1 )
= B n
× C T n
· A = (−1) n C n
× B T n
· A = B T n
× C n
· A T = (−1) n C T n
× B n
· A T
= (c n × a 1 ) · b n (c n−1 × a 2 ) · b n−1 · · · (c 1 × a n ) · b 1
= b 1 b 2 · · · b n n
· c n c n−1 · · · c 1 n
× a n a n−1 · · · a 1
= C T n
× A T n
· B = (−1) n A n
× C n
· B = C n
× A n
· B T = (−1) n A T n
× C T n
· B T
(10.1.10)
Let A be a tensor of order m, A = a 1 a 2 · · · a m , B and C are both tensors of order
n, B = b 1 b 2 · · · b n , C = c 1 c 2 · · · c n , m ≤ n, then the m time parallel type cross
product A m
× B of A and B then the n time parallel type inner product of A m
× B and
C has the following operation properties
A m
× B n
· C = a 1 a 2 · · · a m m
× b 1 b 2 · · · b n n
· c 1 c 2 · · · c n = C n
· A m
× B
= (a 1 × b 1 )(a 2 × b 2 ) · · · (a m × b m )b m+1 b m+2 · · · b n n
· c 1 c 2 · · · c n
= (c 1 × a 1 ) · b 1 (c 2 × a 2 ) · b 2 · · · (c m × a m ) · b m (c m+1 · b m+1 )(c m+2 · b m+2 ) · · · (c n · b n )
= (−1)
m A m
× C n
· B = (−1)
m B n
· A m
× C
= (b 1 × c 1 ) · a 1 (b 2 × c 2 ) · a 2 · · · (b m × c m ) · a m (b m+1 · c m+1 )(b m+2 · c m+2 ) · · · (b n · c n )
= A m
· B m×
(n − m)· C = B m×
(n − m)· C m
· A
(10.1.11)
Furthermore making the m time parallel type cross product B m
× A of B and A,
then making the n time parallel type inner product of B m
× A and C, we give
B m
× A n
· C = b 1 b 2 · · · b n m
× a 1 a 2 · · · a m n
· c 1 c 2 · · · c n = C n
· B m
× A
= b 1 b 2 · · · b n−m (b n−m+1 × a 1 )(b n−m+2 × a 2 ) · · · (b n × a m ) n
· c 1 c 2 · · · c n
= (c 1 · b 1 )(c 2 · b 2 ) · · · (c n−m · b n−m )(c n−m+1 × b n−m+1 )
· a 1 (c n−m+2 × b n−m+2 ) · a 2 · · · (c n × b n ) · a m
= C (n − m)·
m× B m
· A = A m
· C (n − m)·
m× B
= (b 1 · c 1 )(b 2 · c 2 ) · · · (b n−m · c n−m )b n−m+1 · (a 1 × c n−m+1 )b n−m+2
· (a 2 × c n−m+2 ) · · · b n · (a m × c n )
= (−1)
m B n
· C m
× A = (−1)
m C m
× A n
· B
(10.1.12)
10 Variational Problems of Functionals with Vector, Tensor …
= c n c n−1 · · · c 1 n
· a n a n−1 · · · a 1 n
× b n b n−1 b 1 = A T n
× B T n
· C T = (−1) n B n
× A n
· C T
= a 1 · (b n × c n )a 2 · (b n−1 × c n−1 ) · · · a n · (b 1 × c 1 )
= a 1 a 2 · · · a n n
· (b 1 b 2 · · · b n n
× c n c n−1 · · · c 1 )
= B n
× C T n
· A = (−1) n C n
× B T n
· A = B T n
× C n
· A T = (−1) n C T n
× B n
· A T
= (c n × a 1 ) · b n (c n−1 × a 2 ) · b n−1 · · · (c 1 × a n ) · b 1
= b 1 b 2 · · · b n n
· c n c n−1 · · · c 1 n
× a n a n−1 · · · a 1
= C T n
× A T n
· B = (−1) n A n
× C n
· B = C n
× A n
· B T = (−1) n A T n
× C T n
· B T
(10.1.10)
Let A be a tensor of order m, A = a 1 a 2 · · · a m , B and C are both tensors of order
n, B = b 1 b 2 · · · b n , C = c 1 c 2 · · · c n , m ≤ n, then the m time parallel type cross
product A m
× B of A and B then the n time parallel type inner product of A m
× B and
C has the following operation properties
A m
× B n
· C = a 1 a 2 · · · a m m
× b 1 b 2 · · · b n n
· c 1 c 2 · · · c n = C n
· A m
× B
= (a 1 × b 1 )(a 2 × b 2 ) · · · (a m × b m )b m+1 b m+2 · · · b n n
· c 1 c 2 · · · c n
= (c 1 × a 1 ) · b 1 (c 2 × a 2 ) · b 2 · · · (c m × a m ) · b m (c m+1 · b m+1 )(c m+2 · b m+2 ) · · · (c n · b n )
= (−1)
m A m
× C n
· B = (−1)
m B n
· A m
× C
= (b 1 × c 1 ) · a 1 (b 2 × c 2 ) · a 2 · · · (b m × c m ) · a m (b m+1 · c m+1 )(b m+2 · c m+2 ) · · · (b n · c n )
= A m
· B m×
(n − m)· C = B m×
(n − m)· C m
· A
(10.1.11)
Furthermore making the m time parallel type cross product B m
× A of B and A,
then making the n time parallel type inner product of B m
× A and C, we give
B m
× A n
· C = b 1 b 2 · · · b n m
× a 1 a 2 · · · a m n
· c 1 c 2 · · · c n = C n
· B m
× A
= b 1 b 2 · · · b n−m (b n−m+1 × a 1 )(b n−m+2 × a 2 ) · · · (b n × a m ) n
· c 1 c 2 · · · c n
= (c 1 · b 1 )(c 2 · b 2 ) · · · (c n−m · b n−m )(c n−m+1 × b n−m+1 )
· a 1 (c n−m+2 × b n−m+2 ) · a 2 · · · (c n × b n ) · a m
= C (n − m)·
m× B m
· A = A m
· C (n − m)·
m× B
= (b 1 · c 1 )(b 2 · c 2 ) · · · (b n−m · c n−m )b n−m+1 · (a 1 × c n−m+1 )b n−m+2
· (a 2 × c n−m+2 ) · · · b n · (a m × c n )
= (−1)
m B n
· C m
× A = (−1)
m C m
× A n
· B
(10.1.12)