10.1 Basic Properties of the Tensor Inner Product Operations …
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A n
× B n
· C = C n
· A n
× B = a 1 a 2 · · · a n n
× b 1 b 2 · · · b n n
· c 1 c 2 · · · c n
= (a 1 × b 1 )(a 2 × b 2 ) · · · (a n × b n ) n
· C
= (−1)
n
(b 1 × a 1 )(b 2 × a 2 ) · · · (b n × a n ) n
· C
= (−1)
n b 1 b 2 · · · b n n
× a 1 a 2 · · · a n n
· C = (−1)
n B n
× A n
· C
= c n · (a n × b n )c n−1 · (a n−1 × b n−1 ) · · · c 1 · (a 1 × b 1 )
= c n c n−1 · · · c 1 n
· a n a n−1 · · · a 1 n
× b n b n−1 · · · b 1
= (−1)
n c n c n−1 · · · c 1 n
· b n b n−1 · · · b 1 n
× a n a n−1 · · · a 1
= A
T n
× B
T n
· C
T
= (−1)
n B
T n
× A
T n
· C
T
= a 1 · (b 1 × c 1 )a 2 · (b 2 × c 2 ) · · · a n · (b n × c n )
= a 1 a 2 · · · a n n
· (b 1 b 2 · · · b n n
× c 1 c 2 · · · c n )
= B n
× C n
· A = (−1)
n C n
× B n
· A
= B
T n
× C
T n
· A
T
= (−1)
n C
T n
× B
T n
· A
T
= (c 1 × a 1 ) · b 1 (c 2 × a 2 ) · b 2 · · · (c n × a n ) · b n
= c 1 c 2 · · · c n n
× a 1 a 2 · · · a n n
· b 1 b 2 · · · b n
= C n
× A n
· B = (−1)
n A n
× C n
· B
= C
T n
× A
T n
· B
T
= (−1)
n A
T n
× C
T n
· B
T
(10.1.9)
Let A, B and C be all the tensors of order n, A = a 1 a 2 · · · a n , B = b 1 b 2 · · · b n ,
C = c 1 c 2 · · · c n , then the n time series type cross product A n
× B of A and B then
the n time series type inner product of A n
× B and C has the following operation
properties
A n
× B n
· C = C n
· A n
× B = a 1 a 2 · · · a n n
× b 1 b 2 · · · b n n
· c 1 c 2 · · · c n
= (a 1 × b n )(a 2 × b n−1 ) · · · (a n × b 1 ) n
· C
= (−1) n (b n × a 1 )(b n−1 × a 2 ) · · · (b 1 × a n ) n
· C
= (−1) n b n b n−1 · · · b 1 n
× a n a n−1 · · · a 1 n
· C = (−1)B T n
× A T n
· C
= c n · (a 1 × b n )c n−1 · (a 2 × b n−1 ) · · · c 1 · (a n × b 1 )