4.3 Variational Problems of Functionals with Higher Order Derivatives
285
δy
(n i −1)
i1
= −
g x 1 δx 1 + g y i1 δy i1 + g y
i1
δy
i1 + · · · + g y
(n i −2)
i1
δy
(n i −2)
i1
g y
(n i −1)
i1
(4.3.43)
Substituting the relation (4.3.43) into the formula (4.3.38), according to the
arbitrariness of δx i1 , δy i1 , δy
i1 , …, δy
(n i −2)
i1
, when p < r , we give
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
F − y
i
F y
i
+
n i −1
k=1
(−1)
k
d
k F
y
(k+1)
i
dx k
− y
i
F y
i
+
n i −2
k=1
(−1)
k
d
k F
y
(k+2)
i
dx k
− · · · −
y
( j)
i
F y
( j)
i
+
n i − j
k=1
(−1)
k
d
k F
y
(k+ j)
i
dx k
− · · · −
y
(n i −1)
i
F y
(n i −1)
i
−
d F
y
(n i )
i
dx
− y
(n i )
i
F y
(n i )
i
−
g x
g
y
(n i −1)
i
F y
(n i )
i
x=x 1
= 0
F y
i
+
n i −1
k=1
(−1)
k
d
k F
y
(k+1)
i
dx k
−
g y i
g
y
(n i −1)
i
F y
(n i )
i
x=x 1
= 0
F y
i
+
n i −2
k=1
(−1)
k
d
k F
y
(k+2)
i
dx k
−
g y
i
g
y
(n i −1)
i
F y
(n i )
i
x=x 1
= 0
. . .
F y
( j)
i
+
n i − j
k=1
(−1)
k
d
k F
y
(k+ j)
i
dx k
−
g
y
( j−1)
i
g
y
(n i −1)
i
F y
(n i )
i
x=x 1
= 0
. . .
F y
(n i −1)
i
−
d F
y
(n i )
i
dx
−
g
y
(n i −2)
i
g
y
(n i −1)
i
F y
(n i )
i
x=x 1
= 0
F y
(n i )
i
x=x 1
= 0
(4.3.44)
When p = r , we obtain
F − y
i
F y
i
+
n i −1
k=1
(−1)
k
d
k F y
(k+1)
i
dx k
−
y
i
F y
i
+
n i −2
k=1
(−1)
k
d
k F y
(k+2)
i
dx k
− · · · −
y
( j)
i
F y
( j)
i
+
n i − j
k=1
(−1)
k
d
k F y
(k+ j)
i
dx k
− · · · −