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4 Problems with Variable Boundaries
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
F + (ϕ
i − y
i )
F y
i
+
n i −1
k=1
(−1)
k
d
k F
y
(k+1)
i
dx k
+
(ψ
i1 − y
i )
F y
i
−
n i −2
k=1
(−1)
k
d
k F
y
(k+2)
i
dx k
+ · · · +
[ψ
i( j−1) − y
( j)
i ]
F y
( j)
i
+
n i − j
k=1
(−1)
k
d
k F
y
(k+ j)
i
dx k
+ · · · +
[ψ
i(m i −1) − y
(m i )
i
]
F y
(m i )
i
+
n i −m i
k=1
(−1)
k
d
k F
y
(k+m i )
i
dx k
x=x 1
= 0
F y
(m i +1)
i
+
n i −(m i +1)
k=1
(−1)
k
d
k F
y
(k+m i +1)
i
dx k
x=x 1
= 0
. . .
F y
(n i −1)
i
−
d F
y
(n i )
i
dx
x=x 1
= 0
F y
(n i )
i
x=x 1
= 0
(4.3.40)
Corollary 4.3.5 If m i = n i , then the formula (4.3.40) can be rewritten as
F + (ϕ
i − y
i )
F y
i
+
n i −1
k=1
(−1)
k
d
k F y
(k+1)
i
dx k
+ (ψ
i1 − y
i )
F y
i
−
n i −2
k=1
(−1)
k
d
k F y
(k+2)
i
dx k
+ · · ·
+ [ψ
i( j−1) − y
( j)
i ]
F y
( j)
i
+
n i − j
k=1
(−1)
k
d
k F y
(k+ j)
i
dx k
+ · · ·
+ [ψ
i(n i −2) − y
(n i −1)
i
]
F y
(n i −1)
i
−
d F y
(n i )
i
dx
+ [ψ
i(n i −1) − y
(n i )
i
]F y
(n i )
i
x=x 1
= 0
(4.3.41)
When undetermined endpoint B(x 1 , y 1 ) is given by an implicit function
g(x 1 , y i1 , y
i1 , . . . , y
(n i −1)
i1
) = 0, where i = 1, 2, . . . , p, p ≤ r , to take the variation
to it, then there is
g x 1 δx 1 + g y i1 δy i1 + g y
i1
δy
i1 + · · · + g y
(n i −2)
i1
δy
(n i −2)
i1
+ g y
(n i −1)
i1
δy
(n i −1)
i1
= 0 (4.3.42)
When g y
(n i −1)
i1
= 0 时, δx 1 , δy i1 , δy
i1 , …, δy
(n i −2)
i1
can be arbitrary, so that