Contents
xv
12.9.2 Free Harmonic Wave Motion Through
a Mono-coupled Periodic Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
12.9.3 Finite Element Analysis of Periodic Structures . . . . . . 483
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
13 Finite Difference Method for the Vibration Analysis of Beams
and Plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
13.1 Introduction to the Finite Difference Method . . . . . . . . . . . . . . . . 491
13.2 Central Difference Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
13.3 Free Vibration of Beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
13.4 Free Vibration of Rectangular Plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
13.5 Semi-analytic Finite Difference Method for Free
Vibration Analysis of Rectangular Plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
13.6 Semi-analytic Finite Difference Method for Forced
Vibration Analysis of Plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
13.7 Spline Finite Strip Method of Analysis of Plate Vibration . . . . . 503
13.7.1 The Spline Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
13.7.2 Displacement Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
13.7.3 Strain–Displacement Relationship . . . . . . . . . . . . . . . . 507
13.7.4 Stiffness Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
13.7.5 Consistent Mass Matrix of the Plate Strip . . . . . . . . . . 508
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
14 Nonlinear Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
14.2 Perturbation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
14.2.1 Step-By-Step Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
15 Random Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
15.2 Random Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
15.3 Probability Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
15.3.1 Second-Order Probability Distribution . . . . . . . . . . . . . 530
15.4 Ensemble Averages, Mean and Autocorrelation . . . . . . . . . . . . . . 532
15.5 Stationary Process, Ergodic Process and Temporal
Averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
15.5.1 Stationary Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
15.5.2 Temporal Statistics and Ergodic Hypothesis . . . . . . . . 536
15.6 Power Spectral Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
15.7 Relationship Between Autocorrelation Function
and Power Spectral Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
15.8 Random Response of SDF Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
15.8.1 Time Domain Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
15.8.2 Frequency Domain Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
15.9 Random Response of MDF Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
xv
12.9.2 Free Harmonic Wave Motion Through
a Mono-coupled Periodic Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
12.9.3 Finite Element Analysis of Periodic Structures . . . . . . 483
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
13 Finite Difference Method for the Vibration Analysis of Beams
and Plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
13.1 Introduction to the Finite Difference Method . . . . . . . . . . . . . . . . 491
13.2 Central Difference Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
13.3 Free Vibration of Beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
13.4 Free Vibration of Rectangular Plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
13.5 Semi-analytic Finite Difference Method for Free
Vibration Analysis of Rectangular Plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
13.6 Semi-analytic Finite Difference Method for Forced
Vibration Analysis of Plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
13.7 Spline Finite Strip Method of Analysis of Plate Vibration . . . . . 503
13.7.1 The Spline Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
13.7.2 Displacement Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
13.7.3 Strain–Displacement Relationship . . . . . . . . . . . . . . . . 507
13.7.4 Stiffness Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
13.7.5 Consistent Mass Matrix of the Plate Strip . . . . . . . . . . 508
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
14 Nonlinear Vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
14.2 Perturbation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
14.2.1 Step-By-Step Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
15 Random Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
15.2 Random Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
15.3 Probability Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
15.3.1 Second-Order Probability Distribution . . . . . . . . . . . . . 530
15.4 Ensemble Averages, Mean and Autocorrelation . . . . . . . . . . . . . . 532
15.5 Stationary Process, Ergodic Process and Temporal
Averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
15.5.1 Stationary Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
15.5.2 Temporal Statistics and Ergodic Hypothesis . . . . . . . . 536
15.6 Power Spectral Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
15.7 Relationship Between Autocorrelation Function
and Power Spectral Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
15.8 Random Response of SDF Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
15.8.1 Time Domain Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
15.8.2 Frequency Domain Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
15.9 Random Response of MDF Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546