xiv
Contents
10 Dynamic Direct Stiffness Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
10.2 Continuous Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
10.3 Methods Analogous to Classical Methods in Statical
Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
10.4 Dynamic Stiffness Matrix in Bending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
10.5 Dynamic Stiffness Matrix for Flexure and Rigid Axial
Displacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
10.6 Dynamic Stiffness Matrix of a Bar Undergoing Axial
Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
10.7 Dynamic Stiffness Matrix of a Bar Subjected to Axial
and Bending Deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
10.7.1 Combined Uncoupled Axial and Bending
Stiffness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
10.7.2 Combined Coupled Axial and Bending Stiffness . . . . 414
10.8 Beam Segments with Distributed Mass Having Shear
Deformation and Rotary Inertia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
11 Vibration of Ship and Aircraft as a Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
11.2 Shift in Stiffness Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
11.3 Added Mass of a Ship . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
11.4 The Flexibility Matrix Method for Determining Natural
Frequencies of a Free-Free Beam in Vertical Vibration . . . . . . . . 428
11.5 The Flexibility Matrix Method for the Analysis
of Coupled Horizontal and Torsional Vibration . . . . . . . . . . . . . . 433
11.6 Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
12 Finite Element Method in Vibration Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
12.1 Introduction to the Finite Element Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
12.2 Torsional Vibration of Shafts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
12.3 Axial Vibration of Rods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
12.4 Flexural Vibration of Beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
12.5 Vibration of Timoshenko Beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
12.6 Inplane Vibration of Plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
12.6.1 Linear Triangular Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
12.6.2 Linear Rectangular Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
12.7 Flexural Vibration of Plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
12.8 Flexural Vibrations of Plates Using Isoparametric
Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
12.8.1 Reduced Integration Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
12.8.2 Consistent Mass Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
12.9 Periodic Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
12.9.1 Different Types of Periodic Structures . . . . . . . . . . . . . 477