280
8 Elastic Solutions in Geomechanics
Mindlin’s solution for a horizontal point load also employs the definitions for
z 1 and R 1 . Now, introduce rectangular co-ordinate system due to the absence of
cylindrical symmetry and also replacing r
2 by x
2 + y
2 , further assuming (without any
loss of generality) that the load acts in the x-direction at the point z = h, the solution
is conveniently stated in terms of Cerrutti’s solution, just as the vertical point load
was given in terms of Boussinesq’s solution.
Therefore, the displacements and stresses to be superposed on Cerrutti’s solution
are
u x =
P
16π(1 − v)G
x
2
R
3
1
+
(3 − 4v)
R 1
−
(3 − 4v)
R
+
−x
2
+ 2h(z − h)
R 3
−
6hx
2
(z − h)
R 5
(8.22)
u y =
P
16π(1 − v)G
x y
R
3
1
−
x y
R 3 −
6hx y(z − h)
R 5
(8.22a)
u z =
P
16π(1 − v)G
xz 1
R
3
1
−
xz + 2(3 − 4v)hz
R 3
−
6hxz(z − h)
R 5
(8.22b)
σ x =
Px
8π(1 − v)
3x
2
R
5
1
+
(1 − 2v)
R
3
1
−
(1 − 2v)
R 3
−
3x
2
− 6(3 − 2v)hz + 18h
2
R 5
−
30hx
2
(z − h)
R 7
(8.22c)
σ y =
P x
8π(1 − v)
3y
2
R
5
1
−
(1 − 2v)
R
3
1
+
(1 − 2v)
R 3
−
3y
2
− 6(1 − 2v)hz + 6h
2
R 5
−
30hy
2
(z − h)
R 7
(8.22d)
σ z =
Px
8π(1 − v)
3z
2
1
R
5
1
−
(1 − 2v)
R
3
1
+
(1 − 2v)
R 3
−
3z
2
+ 6(1 − 2v)hz + 6h
2
R 5
−
30hz
2
(z − h)
R 7
(8.22e)
τ xy =
Py
8π(1 − v)
3x
2
R
5
1
+
1 − 2v
R
3
1
−
1 − 2v
R 3
−
3x
2
− 6h(z − h)
R 5
−
30hx
2
(z − h)
R 7
(8.22f)
τ yz =
Pxy
8π(1 − v)
3z 1
R
5
1
−
3z + 6(1 − 2v)h
R 5
−
30hz(z − h)
R 7
(8.22g)