Contents
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5.2.1 Plane Stress Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2.2 Plane Strain Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3 Transformation of Compatibility Equation from Strain
Components to Stress Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.3.1 Plane Stress Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.3.2 Plane Strain Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.4 Airy’s Stress Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.4.1 Stress Function for Plane Stress Case . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.4.2 Stress Function for Plane Strain Case . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.5 Solution of Two-Dimensional Problems by the Use
of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.6 Pure Bending of a Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.7 Bending of a Narrow Cantilever Beam Subjected to End Load . . . 144
5.8 Bending of a Simply Supported Beam by a Distributed
Loading (Udl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.9 Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6 Two-Dimensional Problems in Elasticity (in Polar Coordinate
System) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.2 Strain–Displacement Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.3 Strain-Compatibility Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.4 Stress–Strain Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.5 Airy’s Stress Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.6 Biharmonic Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.7 Axisymmetric Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.8 Thick-Walled Cylinder Subjected to Internal and External
Pressures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.9 Rotating Discs of Uniform Thickness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.9.1 Solid Disc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.9.2 Circular Disc with a Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.10 Stress Concentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.11 The Effect of Circular Holes on Stress Distributions in Plates . . . . 184
6.12 Bars with Large Initial Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.13 Winkler–Bach Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.14 Stresses in Closed Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.15 Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.16 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7 Torsion of Prismatic Bars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.2 General Solution of the Torsion Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.3 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
7.4 Stress Function Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.5 Torsion of Circular Cross-Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
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5.2.1 Plane Stress Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2.2 Plane Strain Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3 Transformation of Compatibility Equation from Strain
Components to Stress Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.3.1 Plane Stress Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.3.2 Plane Strain Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.4 Airy’s Stress Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.4.1 Stress Function for Plane Stress Case . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.4.2 Stress Function for Plane Strain Case . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.5 Solution of Two-Dimensional Problems by the Use
of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.6 Pure Bending of a Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.7 Bending of a Narrow Cantilever Beam Subjected to End Load . . . 144
5.8 Bending of a Simply Supported Beam by a Distributed
Loading (Udl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.9 Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6 Two-Dimensional Problems in Elasticity (in Polar Coordinate
System) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.2 Strain–Displacement Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.3 Strain-Compatibility Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.4 Stress–Strain Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.5 Airy’s Stress Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.6 Biharmonic Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.7 Axisymmetric Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.8 Thick-Walled Cylinder Subjected to Internal and External
Pressures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.9 Rotating Discs of Uniform Thickness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.9.1 Solid Disc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.9.2 Circular Disc with a Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.10 Stress Concentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.11 The Effect of Circular Holes on Stress Distributions in Plates . . . . 184
6.12 Bars with Large Initial Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.13 Winkler–Bach Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.14 Stresses in Closed Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.15 Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.16 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7 Torsion of Prismatic Bars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.2 General Solution of the Torsion Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.3 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
7.4 Stress Function Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.5 Torsion of Circular Cross-Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232