xiv
Contents
2.22 General State of Stress in Three Dimensions in Cylindrical
Co-ordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.23 Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.24 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Analysis of Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1 Deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Displacement and Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Concept of Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Components of Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5 Strain Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.7 Deformation of an Infinitesimal Line Element . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.8 Change in Length of a Linear Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.9 Change in Length of a Linear Element—Linear Components . . . . 64
3.10 Strain Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.11 Spherical and Deviatorial Strain Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.12 Principal Strains and Strain Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.13 Octahedral Strains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.14 Mohr’s Circle for Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.15 Equations of Compatibility for Strains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.16 Measurement of Surface Strains—Strain Rosettes . . . . . . . . . . . . . . 74
3.16.1 Strain Rosettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.16.2 Strain Transformation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.16.3 Measurement of Strains Using Rosettes . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.17 Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.18 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4 Stress–Strain Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 Linear Elasticity—Generalized Hooke’s Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3 Elastic Strain Energy for Uniaxial Stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4 Strain Energy in an Elastic Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.6 ST. Venant’s Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.7 Principle of Superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.8 Existence and Uniqueness of Solution (Uniqueness
Theorem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.9 Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5 Two-Dimensional Problems in Cartesian Co-ordinate System . . . . . . . 125
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.1.1 Plane Stress Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.1.2 Plane Strain Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2 Relationship Between Plane Stress and Plane Strain . . . . . . . . . . . . 127
Contents
2.22 General State of Stress in Three Dimensions in Cylindrical
Co-ordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.23 Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.24 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Analysis of Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1 Deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Displacement and Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Concept of Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Components of Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5 Strain Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.7 Deformation of an Infinitesimal Line Element . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.8 Change in Length of a Linear Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.9 Change in Length of a Linear Element—Linear Components . . . . 64
3.10 Strain Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.11 Spherical and Deviatorial Strain Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.12 Principal Strains and Strain Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.13 Octahedral Strains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.14 Mohr’s Circle for Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.15 Equations of Compatibility for Strains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.16 Measurement of Surface Strains—Strain Rosettes . . . . . . . . . . . . . . 74
3.16.1 Strain Rosettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.16.2 Strain Transformation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.16.3 Measurement of Strains Using Rosettes . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.17 Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.18 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4 Stress–Strain Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 Linear Elasticity—Generalized Hooke’s Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3 Elastic Strain Energy for Uniaxial Stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4 Strain Energy in an Elastic Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.6 ST. Venant’s Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.7 Principle of Superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.8 Existence and Uniqueness of Solution (Uniqueness
Theorem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.9 Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5 Two-Dimensional Problems in Cartesian Co-ordinate System . . . . . . . 125
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.1.1 Plane Stress Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.1.2 Plane Strain Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2 Relationship Between Plane Stress and Plane Strain . . . . . . . . . . . . 127