5.10 Example: The Photon-Electron-Proton Fluid
121
for the electrons and
LI p = C
γ
p + C
e
p + C
p
p ,
LS p,a = C
γ
p,a + C
e
p,a + C
p
p,a ,
(5.10.27)
for the protons, where (to linear order in the polarization variables)
C
e
γ (
k1) := e
4
d 3 k2
(2π) 3 2k2
d 3 p1
(2π) 3 2E p1
d 3 p2
(2π) 3 2E p2
(2π)
4 δ
(4) (k1 + p1 − k2 − p2)
×
γe X − I
γ
e,2 Pab,2 X
a
2 X
b
2
+ O(pol
2 ) ,
(5.10.28)
˜
C
e (
k1) := e
4
d 3 k2
(2π) 3 2k2
d 3 p1
(2π) 3 2E p1
d 3 p2
(2π) 3 2E p2
(2π)
4 δ
(4) (k1 + p1 − k2 − p2)
×
I
γ
e,2 V2 ˜
X − I
γ
e,1 V1 X +
I
e
γ,1 Se,1,a − I
e
γ,2 Se,2,a
˜
X
a
1
+ O(pol
2 ) ,
(5.10.29)
C
e
ab (
k1) := e
4
d 3 k2
(2π) 3 2k2
d 3 p1
(2π) 3 2E p1
d 3 p2
(2π) 3 2E p2
(2π)
4 δ
(4) (k1 + p1 − k2 − p2)
×
−2γe X1,a X1,b + 2I
γ
e,2 P
cd
2 Xac Xbd − I
γ
e,1 P
cd
1 Xabcd
TT + O(pol
2 ) ,
(5.10.30)
C
γ
e (
p1) := e
4
d 3 p2
(2π) 3 2E p2
d 3 k1
(2π) 3 2k1
d 3 k2
(2π) 3 2k2
(2π)
4 δ
(4) ( p1 + k1 − p2 − k2)
×
γe X + I
γ
e,1 Pab,1 X
a
1 X
b
1 − I
γ
e,2 Pab,2 X
a
2 X
b
2
+ O(pol
2 ) ,
(5.10.31)
C
e
e (
p1) := e
4
d 3 p2
(2π) 3 2E p2
d 3 p3
(2π) 3 2E p3
d 3 p4
(2π) 3 2E p4
(2π)
4 δ
(4) ( p1 + p2 − p3 − p4) eeY + O(pol
2 ) , (5.10.32)
C
p
e (
p1) := e
4
d 3 p2
(2π) 3 2E p2
d 3 q1
(2π) 3 2q1
d 3 q2
(2π) 3 2q2
(2π)
4 δ
(4) ( p1 + q1 − p2 − q2) ep Z + O(pol
2 ) ,
(5.10.33)
C
γ
e,a (
p1) := e
4
d 3 p2
(2π) 3 2E p2
d 3 k1
(2π) 3 2k1
d 3 k2
(2π) 3 2k2
(2π)
4 δ
(4) ( p1 + k1 − p2 − k2)
×
I
e
γ,2 Se,2,a ˜ ˜
X − I
e
γ,1 Se,1,a X − I
e
γ,2 S
b
e,2 Wab + I
γ
e,2 V2 Wa − I
γ
e,1 V1[Wa ]k 1 ↔k2 , p1,2 →− p1,2
+ O(pol
2 ) ,
(5.10.34)
C
e
e,a (
p1) := e
4
d 3 p2
(2π) 3 2E p2
d 3 p3
(2π) 3 2E p3
d 3 p4
(2π) 3 2E p4
(2π)
4 δ
(4) ( p1 + p2 − p3 − p4)
×
I
e
e,4 S
b
e,3
˜
Yab + I
e
e,3 S
b
e,4 [ ˜
Yab]p 3 ↔ p4 − I
e
e,2 Se,1,a Y − I
e
e,1 S
b
e,2 Yab
+ O(pol
2 ) ,
(5.10.35)
C
p
e,a (
p1) := e
4
d 3 p2
(2π) 3 2E p2
d 3 q1
(2π) 3 2q1
d 3 q2
(2π) 3 2q2
(2π)
4 δ
(4) ( p1 + q1 − p2 − q2)
×
I
e
p,2 Se,2,a − I
e
p,1 Se,1,a
Z +
I
p
e,2 Sp,2,a − I
p
e,1 Sp,1,a
˜
Z + I
e
p,2 S
b
e,2 Zab − I
p
e,1 S
b
p,1
˜
Zab
+ O(pol
2 ) ,
(5.10.36)
and where we have defined the following dimensionless combinations
I e
γ,1 := I γ,1
1 +
1
2
I γ,2
−
1
2
I e,2
I γ,1 − I γ,2
,
(5.10.37)
I e
γ,2 := I γ,2
1 +
1
2
I γ,1
−
1
2
I e,1
I γ,2 − I γ,1
,
(5.10.38)
I
γ
e,1 := I e,1
1 −
1
2
I e,2
+
1
2
I γ,2
I e,1 − I e,2
,
(5.10.39)
I
γ
e,2 := I e,2
1 −
1
2
I e,1
+
1
2
I γ,1
I e,2 − I e,1
,
(5.10.40)
I e
e,1 := I e,1 −
1
2
I e,1 I e,3 + I e,1 I e,4 − I e,3 I e,4
,
(5.10.41)
I e
e,2 := I e,2 −
1
2
I e,2 I e,3 + I e,2 I e,4 − I e,3 I e,4
,
(5.10.42)