4.4 Les limitations de vitesses
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4.4.2 Convergence ` a l’´ equilibre
Dans tous les cas interm´ ediaires, l’individu est asymptotiquement distribu´ e
selon la loi μ, lorsque le param` etre temporel n tend vers l’infini. D’apr` es la
formule (4.1), la vitesse de convergence de la loi de X n vers μ est donn´ ee par
les fonctions d´ ecroissantes
α(n) =
n
k=1
k +
k + 1
.
Pour ˆ etre plus pr´ ecis, il convient d’introduire le crit` ere de proximit´ e entre μ
et η n d´ efini en terme du plus grand ´ ecart entre les quantit´ es μ(f ) et η n (f )
η n − μ = d´ ef.
sup
{f : osc(f )≤1}
|η n (f ) − μ(f )| ,
sur l’ensemble des fonctions f ` a oscillations inf´ erieures `
a un
osc(f ) = d´ ef. sup {|f (i) − f (j)| : i, j ∈ {1, . . . , N}} ≤ 1
Avec ces notations, on peut noter que l’on a
η n − μ = α(n) η 0 − μ avec α(n) → n↑∞ 0 .
L’objectif de cette section est de d´ emontrer le r´ esultat suivant
1
e 1−
1
n 1− ≤ α(n) ≤ e
1−
1
n 1− .
Cette estimation de la convergence de la distribution de notre marcheur
vers la mesure uniforme t´ emoigne de l’extrˆ eme ralentissement induit par les
m´ ecanismes de renforcement. `
A titre illustratif, lorsque l’individu se retourne
neuf fois sur dix vers son pass´ e, nous avons =
9
10 et
1
(n/e) 1− =
1
(n/e)
1
10
1
10
⇐⇒ (n/e) 10
10 .
Si les pubs sont espac´ es de cent m` etres, et en optimisant au mieux son parcours, il lui faudra parcourir un peu plus de 10
9 kilom` etres pour ˆ etre `
a un
dixi` eme d’une r´ epartition uniforme.
4.4.3 Borne sup´ erieure
Pour d´ emontrer la borne sup´ erieure, on commence par observer que l’on
a pour tout indice k ≥ 1 et < 1