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4 Chaˆ ınes de Markov en auto-interaction
Par d´ efinition du processus de renforcement, la distribution de l’individu
sachant les valeurs pass´ ees X 0 , . . . , X n est donn´ ee par
E(f (X n+1 ) | X 0 , . . . , X n ) = S n (f ) + (1 − ) μ(f ) avec μ(f ) =
1
p
p
i=1
f (i) .
On peut reformuler cette ´ equation en terme de fonctions centr´ ees
E([f (X n+1 ) − μ(f )] | X 0 , . . . , X n ) = S n ([f − μ(f )]) .
Autrement dit, pour toute fonction f telle que μ(f ) = 0, nous avons la formule
P E(f (X n+1 ) | X 0 , . . . , X n ) = S n (f ) ⇒ η n+1 (f ) = S n (f ) ,
en utilisant la r` egle des conditionnements emboˆ ıt´ es,
E(f (X n+1 )) = E(E(f (X n+1 ) | X 0 , . . . , X n )) .
On en d´ eduit la formule suivante :
S n (f ) =
n
n + 1
S n−1 (f ) +
1
n + 1
E(f (X n ))
=
n +
n + 1
× S n−1 (f )
=
n +
n + 1
×
(n − 1) +
(n − 1) + 1
× S n−2 (f ) = . . . =
n
k=1
k +
k + 1
× E(f (X 0 ))
Ceci ach` eve la preuve de la formule recherch´ ee (4.1).
4.4 Les limitations de vitesses
4.4.1 Les deux cas extrˆ emes
`
A quelle vitesse la distribution du touriste se r´ eajuste sur la loi uniforme
μ ? Si l’individu ne subit aucun renforcement, il se distribue ind´ ependamment
chaque jour sur l’ensemble des pubs selon la loi μ
= 0 =⇒ Loi(X n ) = μ
Dans le cas oppos´ e, l’individu est condamn´ e `
a retourner chaque jour sur le
premier site visit´ e. Il reste donc ` a jamais distribu´ e sur sa position initiale
= 1 =⇒ Loi(X n ) = Loi(X 0 )