4.3 Les lois d’´ evolution
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N´ eanmoins, nous allons montrer que pour des dur´ ees d’exploration n parfois
tr` es longues, notre touriste sera finalement uniform´ ement r´ eparti sur l’ensemble des pubs de la vieille ville, c’est-` a-dire
Loi(X n )
n↑∞
μ
Autrement dit, il a autant de chance d’ˆ etre dans l’un des pubs de la ville.
Mieux encore, sa vitesse de convergence vers cet ´ etat d’´ equilibre est ind´ ependante du nombre de pubs ; elle ne d´ epend pas de la loi μ, seulement du degr´ e
de renforcement de l’individu ! Nous montrerons qu’il existe uniquement trois
formes d’´ evolution, selon que l’individu se tourne plus d’une fois sur deux vers
son pass´ e, ou le contraire, ou exactement une fois sur deux !
Pour pr´ eciser la distribution de notre touriste, d´ esignons par η n la loi de
la variable X n
η n = Loi(X n )
L’objectif principal de cette section est de montrer que l’individu est asymptotiquement distribu´ e selon la distribution μ, c’est-` a-dire
[η n+1 (f ) − μ(f )] = ×
n
k=1
k +
k + 1
× [η 0 (f ) − μ(f )]
n↑∞
−→ 0
(4.1)
pour toute fonction f : E → R.
Pour d´ emontrer cette formule, on commence par noter que la valeur
moyenne de f (X n ) est donn´ ee par
η n (f ) = E(f (X n )) =
p
i=1
f (i) P(X n = i)
La mesure d’occupation S n de l’individu, et sa moyenne S n , sont donn´ ees par
les quantit´ es
S n (f ) =
1
n + 1
n
k=0
f (X k ) et S n (f ) = E (S n (f )) =
1
n + 1
n
k=0
η k (f )
Il est important de souligner l’expression de la mesure d’occupation S n au
temps n, en fonction de la mesure d’occupation pr´ ec´ edente, et de la position
courante :
S n (f ) =
n
n + 1
1
n
n−1
k=0
f (X k ) +
1
n
f (X n )
=
n
n + 1
S n−1 (f ) +
1
n + 1
f (X n )