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4 Chaˆ ınes de Markov en auto-interaction
k +
k + 1
= 1 −
(1 − )
k + 1
< 1
On peut ainsi ´ ecrire la fonction α sous la forme suivante
α(n) =
n+1
k=2
1 −
δ
k
avec δ = (1 − ).
On utilise alors la majoration logarithmique
∀x ≥ 0 logx ≤ (x − 1)
pour v´ erifier que l’on a
log
1 −
δ
k
≤ −
δ
k
.
On en conclut que
log α(n) ≤ −δ
n+1
k=2
1
k
Il reste alors `
a remplacer ces sommes par des int´ egrales
1
k
≥
k+1
k
dt
t
=⇒
n+1
k=2
1
k
≥
n+1
k=2
k+1
k
dt
t
=
n+2
2
dt
t
= log
n + 2
2
Ces simples majorations entraˆ ınent que
log α(n) ≤ −δ log
n + 2
2
⇐⇒ α(n) ≤
2
n + 2
δ
On arrive finalement ` a la borne sup´ erieure recherch´ ee
2
n + 2
δ
=
2 n
n + 2
δ 1
n δ ≤ e
δ 1
n δ
4.4.4 Borne inf´ erieure
Pour d´ emontrer la borne inf´ erieure, on utilise la minoration logarithmique
∀x ∈ [0, 1[ (1 − x) log (1 − x) ≥ −x
On a donc pour tout k ≥ 2 et x =
δ
k
log
1 −
δ
k
≥ −
δ
k
1
1 −
δ
k
= −
δ
k − δ
≥ −
δ
k − 1
On obtient ainsi ais´ ement la minoration suivante