Avant-propos
IX
d’autres paysages fractals. L’algorithme de Robbins-Monro simule un processus d’apprentissage humain de recherche d’un dosage optimal en observant
les diff´ erents effets et r´ eactions du produit au cours du temps. Le recuit simul´ e mime le processus de refroidissement d’un m´ etal ` a l’´ etat liquide vers
un ´ etat solide stable ` a ´ energie minimale. L’´ echantillonneur de Gibbs simule
pas ` a pas les transitions conditionnelles locales de chaque composante d’un
syst` eme physique par rapport aux autres composantes. L’algorithme de simulation de Metropolis-Hastings mime les m´ ecanismes d’apprentissage humains
fond´ es sur des r` egles d’acceptation ou de rejet de propositions al´ eatoires. Les
algorithmes de type g´ en´ etiques, et les arbres g´ en´ ealogiques correspondants,
simulent l’´ evolution al´ eatoire d’une population d’individus dans un environnement suivant des m´ ecanismes d’adaptation de type mutation-s´ election, ou
encore des principes de naissance et mort.
Tous les mod` eles stochastiques d´ ecrits dans cet ouvrage admettent ainsi
des interpr´ etations distinctes et vari´ ees, selon le domaine d’application consid´ er´ e. Par exemple, les techniques d’exploration g´ en´ etiques d´ ecrites ci-dessus
font actuellement partie des techniques de r´ esolution les plus avanc´ ees en statistique bay´ esienne, en traitement du signal, en analyse d’´ ev` enements rares, en
combinatoire ´ enum´ erative, en optimisation combinatoire, en math´ ematiques
financi` eres, ainsi qu’en physique et chimie quantique. En statistique bay´ esienne,
ces algorithmes g´ en´ etiques sont plutˆ ot per¸ cus comme des ´ echantillons al´ eatoires
suivant des lois a posteriori. Dans le cadre du filtrage de signaux, ces mod` eles
peuvent s’interpr´ eter comme des approximations particulaires des ´ equations
d’´ evolution du filtre optimal. Dans ce contexte, les populations simul´ ees
peuvent s’interpr´ eter comme une technique de maillage stochastique adaptatif
d’un syst` eme ` a valeurs mesures. En analyse de risque, ces algorithmes particulaires sont aussi utilis´ es pour explorer des s´ equences de niveaux d´ ecroissants,
en dupliquant les excursions ayant r´ eussi ` a d´ epasser les niveaux recherch´ es.
Dans ce contexte, ces mod` eles peuvent ˆ etre vus comme des techniques de simulation de lois cibles de type acceptation-rejet, coupl´ ees `
a des m´ ecanismes
de recyclages. Enfin, en chimie mol´ eculaire, ces algorithmes g´ en´ etiques s’interpr` etent comme des populations de marcheurs ´ evoluant dans des milieux
absorbants suivant des m´ ecanismes de reconfigurations.
Suivant la litt´ erature consid´ er´ ee, on rencontre ainsi le mˆ eme algorithme
stochastique sous diverses appellations : m´ ethodes de Monte Carlo s´ equentielles, m´ ethodes et filtres particulaires, algorithmes de branchement multiniveaux, algorithme g´ en´ etique, ou encore m´ ethodes de Monte Carlo diffusives
ou quantiques.
D’un point de vue purement math´ ematique, les m´ ethodes stochastiques
pr´ esent´ ees dans cet ouvrage s’expriment en terme d’une chaˆ ıne de Markov.
Les propri´ et´ es de convergence des algorithmes vers la solution du probl` eme
´ etudi´ e d´ ecoulent de principes de moyennisation asymptotique en temps long,
ou encore de principes de moyennisation spatiale pour les algorithmes fond´ es
sur des dynamiques de population. Ces deux propri´ et´ es de convergence sont
traduites en terme de lois des grands nombres, ou encore en terme de pro-
IX
d’autres paysages fractals. L’algorithme de Robbins-Monro simule un processus d’apprentissage humain de recherche d’un dosage optimal en observant
les diff´ erents effets et r´ eactions du produit au cours du temps. Le recuit simul´ e mime le processus de refroidissement d’un m´ etal ` a l’´ etat liquide vers
un ´ etat solide stable ` a ´ energie minimale. L’´ echantillonneur de Gibbs simule
pas ` a pas les transitions conditionnelles locales de chaque composante d’un
syst` eme physique par rapport aux autres composantes. L’algorithme de simulation de Metropolis-Hastings mime les m´ ecanismes d’apprentissage humains
fond´ es sur des r` egles d’acceptation ou de rejet de propositions al´ eatoires. Les
algorithmes de type g´ en´ etiques, et les arbres g´ en´ ealogiques correspondants,
simulent l’´ evolution al´ eatoire d’une population d’individus dans un environnement suivant des m´ ecanismes d’adaptation de type mutation-s´ election, ou
encore des principes de naissance et mort.
Tous les mod` eles stochastiques d´ ecrits dans cet ouvrage admettent ainsi
des interpr´ etations distinctes et vari´ ees, selon le domaine d’application consid´ er´ e. Par exemple, les techniques d’exploration g´ en´ etiques d´ ecrites ci-dessus
font actuellement partie des techniques de r´ esolution les plus avanc´ ees en statistique bay´ esienne, en traitement du signal, en analyse d’´ ev` enements rares, en
combinatoire ´ enum´ erative, en optimisation combinatoire, en math´ ematiques
financi` eres, ainsi qu’en physique et chimie quantique. En statistique bay´ esienne,
ces algorithmes g´ en´ etiques sont plutˆ ot per¸ cus comme des ´ echantillons al´ eatoires
suivant des lois a posteriori. Dans le cadre du filtrage de signaux, ces mod` eles
peuvent s’interpr´ eter comme des approximations particulaires des ´ equations
d’´ evolution du filtre optimal. Dans ce contexte, les populations simul´ ees
peuvent s’interpr´ eter comme une technique de maillage stochastique adaptatif
d’un syst` eme ` a valeurs mesures. En analyse de risque, ces algorithmes particulaires sont aussi utilis´ es pour explorer des s´ equences de niveaux d´ ecroissants,
en dupliquant les excursions ayant r´ eussi ` a d´ epasser les niveaux recherch´ es.
Dans ce contexte, ces mod` eles peuvent ˆ etre vus comme des techniques de simulation de lois cibles de type acceptation-rejet, coupl´ ees `
a des m´ ecanismes
de recyclages. Enfin, en chimie mol´ eculaire, ces algorithmes g´ en´ etiques s’interpr` etent comme des populations de marcheurs ´ evoluant dans des milieux
absorbants suivant des m´ ecanismes de reconfigurations.
Suivant la litt´ erature consid´ er´ ee, on rencontre ainsi le mˆ eme algorithme
stochastique sous diverses appellations : m´ ethodes de Monte Carlo s´ equentielles, m´ ethodes et filtres particulaires, algorithmes de branchement multiniveaux, algorithme g´ en´ etique, ou encore m´ ethodes de Monte Carlo diffusives
ou quantiques.
D’un point de vue purement math´ ematique, les m´ ethodes stochastiques
pr´ esent´ ees dans cet ouvrage s’expriment en terme d’une chaˆ ıne de Markov.
Les propri´ et´ es de convergence des algorithmes vers la solution du probl` eme
´ etudi´ e d´ ecoulent de principes de moyennisation asymptotique en temps long,
ou encore de principes de moyennisation spatiale pour les algorithmes fond´ es
sur des dynamiques de population. Ces deux propri´ et´ es de convergence sont
traduites en terme de lois des grands nombres, ou encore en terme de pro-