VIII
Avant-propos
D’autre part, la plupart des processus al´ eatoires formalis´ es sont des
mod` eles math´ ematiques tr` es simplifi´ es ne rendant compte que d’une partie du ph´ enom` ene ´ etudi´ e. Dans ce contexte, les al´ eas rajout´ es au syst` eme
repr´ esentent les erreurs de mod´ elisation, ou tout autre quantit´ e influant sur
son ´ evolution : param` etres de contrˆ ole ou de mod` eles inconnus et partiellement
observ´ es, perturbations de capteurs de mesures. La nature probabiliste de ces
variables al´ eatoires est bien souvent dict´ ee par une connaissance a priori du
syst` eme.
Enfin, comme le souligne Ian Stewart dans son ouvrage [142], le mot
grec stochastikos signifie “habile `
a viser”, et “transmet ainsi l’id´ ee de l’utilisation contemporaine des lois du hasard en vue d’avantages personnels”.
Dans le cadre des algorithmes stochastiques, les composantes al´ eatoires du
syst` eme permettent d’augmenter les capacit´ es d’exploration et d’adaptation
du mod` ele. `
A la diff´ erence de leurs homologues d´ eterministes, les m´ ethodes
de recherche stochastiques permettent d’explorer des espaces de grandes dimensions, tout en ´ evitant certains pi` eges, tels des puits de minima locaux
en optimisation globale. A titre d’exemple, l’algorithme de recuit simul´ e peut
s’interpr´ eter comme un algorithme de descente de gradient coupl´ e `
a des transitions al´ eatoires peu fr´ equentes dans des directions oppos´ ees pour ´ eviter d’ˆ etre
pi´ eg´ e dans des minima locaux. Dans un autre contexte, les algorithmes particulaires sont des techniques d’estimation stochastique mimant des dynamiques
al´ eatoires de populations d’individus en interaction et en adaptation avec leur
milieu.
Dans cet ouvrage, ces trois sources d’al´ eatoire sont explor´ ees sous des
angles th´ eorique et pratique. Nous soulignerons leurs fondations math´ ematiques, ainsi que leurs diff´ erentes interpr´ etations dans des domaines scientifiques vari´ es li´ es ` a la physique, la biologie, ainsi que dans les sciences sociales,
en math´ ematiques financi` eres, en analyse de risques, et dans les sciences de
l’ing´ enieur.
La th´ eorie des processus stochastiques est essentiellement consacr´ ee ` a
l’analyse de deux classes de mod` eles probabilistes :
La premi` ere classe concerne les processus stochastiques formalis´ es repr´ esentant des ´ evolutions de ph´ enom` enes al´ eatoires rencontr´ es en physique, en
biologique, en ´ economie, ou en sciences de l’ing´ enieur. La seconde classe
concerne des algorithmes d’exploration stochastique d’espaces de solutions
complexes pour r´ esoudre des probl` emes d’estimation, d’optimisation et d’apprentissage statistique.
Ces deux classes de mod` eles et m´ ethodes stochastiques sont intimement
li´ ees. En effet, la plupart des algorithmes stochastiques modernes sont fond´ es
sur des m´ ecanismes de recherche mimant des processus d’exploration et
d’adaptation biologiques ou physiques. En d’autres termes, ces algorithmes
miment le plus souvent des processus d’´ evolution ou d’apprentissage dict´ es
par des r` egles ou des lois physiques, ou encore certains principes de l’´ evolution
naturelle. Les fonctions it´ er´ ees al´ eatoires simulent l’´ elaboration naturelle et
chaotique de formes sym´ etriques complexes, telles les flocons de neige ou
Avant-propos
D’autre part, la plupart des processus al´ eatoires formalis´ es sont des
mod` eles math´ ematiques tr` es simplifi´ es ne rendant compte que d’une partie du ph´ enom` ene ´ etudi´ e. Dans ce contexte, les al´ eas rajout´ es au syst` eme
repr´ esentent les erreurs de mod´ elisation, ou tout autre quantit´ e influant sur
son ´ evolution : param` etres de contrˆ ole ou de mod` eles inconnus et partiellement
observ´ es, perturbations de capteurs de mesures. La nature probabiliste de ces
variables al´ eatoires est bien souvent dict´ ee par une connaissance a priori du
syst` eme.
Enfin, comme le souligne Ian Stewart dans son ouvrage [142], le mot
grec stochastikos signifie “habile `
a viser”, et “transmet ainsi l’id´ ee de l’utilisation contemporaine des lois du hasard en vue d’avantages personnels”.
Dans le cadre des algorithmes stochastiques, les composantes al´ eatoires du
syst` eme permettent d’augmenter les capacit´ es d’exploration et d’adaptation
du mod` ele. `
A la diff´ erence de leurs homologues d´ eterministes, les m´ ethodes
de recherche stochastiques permettent d’explorer des espaces de grandes dimensions, tout en ´ evitant certains pi` eges, tels des puits de minima locaux
en optimisation globale. A titre d’exemple, l’algorithme de recuit simul´ e peut
s’interpr´ eter comme un algorithme de descente de gradient coupl´ e `
a des transitions al´ eatoires peu fr´ equentes dans des directions oppos´ ees pour ´ eviter d’ˆ etre
pi´ eg´ e dans des minima locaux. Dans un autre contexte, les algorithmes particulaires sont des techniques d’estimation stochastique mimant des dynamiques
al´ eatoires de populations d’individus en interaction et en adaptation avec leur
milieu.
Dans cet ouvrage, ces trois sources d’al´ eatoire sont explor´ ees sous des
angles th´ eorique et pratique. Nous soulignerons leurs fondations math´ ematiques, ainsi que leurs diff´ erentes interpr´ etations dans des domaines scientifiques vari´ es li´ es ` a la physique, la biologie, ainsi que dans les sciences sociales,
en math´ ematiques financi` eres, en analyse de risques, et dans les sciences de
l’ing´ enieur.
La th´ eorie des processus stochastiques est essentiellement consacr´ ee ` a
l’analyse de deux classes de mod` eles probabilistes :
La premi` ere classe concerne les processus stochastiques formalis´ es repr´ esentant des ´ evolutions de ph´ enom` enes al´ eatoires rencontr´ es en physique, en
biologique, en ´ economie, ou en sciences de l’ing´ enieur. La seconde classe
concerne des algorithmes d’exploration stochastique d’espaces de solutions
complexes pour r´ esoudre des probl` emes d’estimation, d’optimisation et d’apprentissage statistique.
Ces deux classes de mod` eles et m´ ethodes stochastiques sont intimement
li´ ees. En effet, la plupart des algorithmes stochastiques modernes sont fond´ es
sur des m´ ecanismes de recherche mimant des processus d’exploration et
d’adaptation biologiques ou physiques. En d’autres termes, ces algorithmes
miment le plus souvent des processus d’´ evolution ou d’apprentissage dict´ es
par des r` egles ou des lois physiques, ou encore certains principes de l’´ evolution
naturelle. Les fonctions it´ er´ ees al´ eatoires simulent l’´ elaboration naturelle et
chaotique de formes sym´ etriques complexes, telles les flocons de neige ou