X
Avant-propos
pri´ et´ es ergodiques de processus al´ eatoires. Ces deux notions math´ ematiques ne
sont que bri` evement examin´ ees dans cet ouvrage. Le lecteur d´ esireux d’approfondir ces aspects th´ eoriques et analytiques peut consulter les trois ouvrages
consacr´ es ` a ces questions [10, 36, 37], ainsi que les articles r´ ef´ erenc´ es dans ces
deux livres, et ceux cit´ es ` a la fin de cet ouvrage.
Dans cette ´ etude, nous avons choisi de mettre l’accent sur les aspects
li´ es ` a la mod´ elisation et aux techniques stochastiques, en soulignant les interpr´ etations biologiques ou physiques originelles, tout en illustrant leurs applications dans la r´ esolution de probl` emes d’estimation classiques des sciences
physiques et de l’ing´ enieur. Bien entendu, ce catalogue est loin d’ˆ etre exhaustif, il refl` ete simplement certaines expressions classiques de ces mod` eles, ou
certains goˆ uts des auteurs. D’autres domaines d’applications concrets sont
d´ evelopp´ es dans les ouvrages compl´ ementaires de S. Asmussen [5], S. Asmussen, et P.W. Glynn [6], O. Capp´ e, E. Moulines, et T. Ryd` en [26], G. Fishman [65], S. P. Meyn [119], et l’ouvrage de r´ ef´ erence de S.P. Meyn et R.L.
Tweedie [118] sur la stabilit´ e des chaˆ ınes de Markov.
Cet ouvrage en trois parties traite respectivement de mod` eles probabilistes,
de m´ ethodes et algorithmes stochastiques, et de leurs diff´ erentes expressions
dans divers domaines d’applications.
La premi` ere partie est consacr´ ee ` a la mod´ elisation stochastique. Nous
d´ ecrirons diff´ erentes classes de mod` eles stochastiques dans un ordre de complexit´ e croissant. Nous commencerons cette ´ etude par des mod` eles de chaˆ ınes
de Markov discr` etes sur des espaces finis, puis nous ´ etendrons ces mod` eles ` a des
espaces abstraits et plus g´ en´ eraux. Nous examinerons ensuite deux classes importantes de processus stochastiques en interaction. La premi` ere concerne des
mod` eles de chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires d´ efinies en termes de transitions de
probabilit´ es d´ ependant des lois des ´ etats courants. Nous pr´ esentons ensuite les
interpr´ etations particulaires stochastiques de ces mod` eles. Ces sch´ emas d’approximation num´ eriques s’expriment en termes de syst` emes de particules en
interaction de type champ moyen. La seconde classe de processus en interaction concerne des processus stochastiques en auto-interaction par rapport ` a
leurs mesures d’occupation temporelle. Les liens entre processus `
a temps discret et `
a temps continu sont ensuite d´ evelopp´ es sous des angles math´ ematiques
et physiques.
Le seconde partie est consacr´ ee aux m´ ethodes stochastiques, et plus particuli` erement aux m´ ethodes de Monte Carlo avanc´ ees et aux algorithmes stochastiques. Nous commencerons cette ´ etude avec les mod` eles assez classiques
de Monte Carlo par chaˆ ınes de Markov (en abbr´ eg´ e algorithmes MCMC), tels
les algorithmes de Metropolis-Hastings, et l’´ echantillonneur de Gibbs. Nous
examinerons par la suite les mod` eles de Feynman-Kac, et leurs diff´ erentes interpr´ etations particulaires. Ces mod` eles stochastiques plus r´ ecents permettent
de repr´ esenter des lois conditionnelles de trajectoires al´ eatoires par rapport ` a
des observations partielles du processus ; ou encore des ´ ev` enements critiques
tels des taux d’absorption, ou des r´ egimes de fonctionnement critique. Outre
Avant-propos
pri´ et´ es ergodiques de processus al´ eatoires. Ces deux notions math´ ematiques ne
sont que bri` evement examin´ ees dans cet ouvrage. Le lecteur d´ esireux d’approfondir ces aspects th´ eoriques et analytiques peut consulter les trois ouvrages
consacr´ es ` a ces questions [10, 36, 37], ainsi que les articles r´ ef´ erenc´ es dans ces
deux livres, et ceux cit´ es ` a la fin de cet ouvrage.
Dans cette ´ etude, nous avons choisi de mettre l’accent sur les aspects
li´ es ` a la mod´ elisation et aux techniques stochastiques, en soulignant les interpr´ etations biologiques ou physiques originelles, tout en illustrant leurs applications dans la r´ esolution de probl` emes d’estimation classiques des sciences
physiques et de l’ing´ enieur. Bien entendu, ce catalogue est loin d’ˆ etre exhaustif, il refl` ete simplement certaines expressions classiques de ces mod` eles, ou
certains goˆ uts des auteurs. D’autres domaines d’applications concrets sont
d´ evelopp´ es dans les ouvrages compl´ ementaires de S. Asmussen [5], S. Asmussen, et P.W. Glynn [6], O. Capp´ e, E. Moulines, et T. Ryd` en [26], G. Fishman [65], S. P. Meyn [119], et l’ouvrage de r´ ef´ erence de S.P. Meyn et R.L.
Tweedie [118] sur la stabilit´ e des chaˆ ınes de Markov.
Cet ouvrage en trois parties traite respectivement de mod` eles probabilistes,
de m´ ethodes et algorithmes stochastiques, et de leurs diff´ erentes expressions
dans divers domaines d’applications.
La premi` ere partie est consacr´ ee ` a la mod´ elisation stochastique. Nous
d´ ecrirons diff´ erentes classes de mod` eles stochastiques dans un ordre de complexit´ e croissant. Nous commencerons cette ´ etude par des mod` eles de chaˆ ınes
de Markov discr` etes sur des espaces finis, puis nous ´ etendrons ces mod` eles ` a des
espaces abstraits et plus g´ en´ eraux. Nous examinerons ensuite deux classes importantes de processus stochastiques en interaction. La premi` ere concerne des
mod` eles de chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires d´ efinies en termes de transitions de
probabilit´ es d´ ependant des lois des ´ etats courants. Nous pr´ esentons ensuite les
interpr´ etations particulaires stochastiques de ces mod` eles. Ces sch´ emas d’approximation num´ eriques s’expriment en termes de syst` emes de particules en
interaction de type champ moyen. La seconde classe de processus en interaction concerne des processus stochastiques en auto-interaction par rapport ` a
leurs mesures d’occupation temporelle. Les liens entre processus `
a temps discret et `
a temps continu sont ensuite d´ evelopp´ es sous des angles math´ ematiques
et physiques.
Le seconde partie est consacr´ ee aux m´ ethodes stochastiques, et plus particuli` erement aux m´ ethodes de Monte Carlo avanc´ ees et aux algorithmes stochastiques. Nous commencerons cette ´ etude avec les mod` eles assez classiques
de Monte Carlo par chaˆ ınes de Markov (en abbr´ eg´ e algorithmes MCMC), tels
les algorithmes de Metropolis-Hastings, et l’´ echantillonneur de Gibbs. Nous
examinerons par la suite les mod` eles de Feynman-Kac, et leurs diff´ erentes interpr´ etations particulaires. Ces mod` eles stochastiques plus r´ ecents permettent
de repr´ esenter des lois conditionnelles de trajectoires al´ eatoires par rapport ` a
des observations partielles du processus ; ou encore des ´ ev` enements critiques
tels des taux d’absorption, ou des r´ egimes de fonctionnement critique. Outre