Avant-propos
XI
ces interpr´ etations, ces mod` eles permettent de d´ efinir de nouvelles techniques
de simulation de type MCMC en interaction.
La troisi` eme partie est consacr´ ee ` a l’application des mod` eles et m´ ethodes
stochastiques d´ ecrites dans les deux premi` eres parties ` a diff´ erents domaines
scientifiques : simulation de fractal par des fonctions it´ er´ ees stochastiques,
r´ esolution stochastique de probl` emes d’´ enum´ eration combinatoire, optimisation stochastique multi-crit` eres, traitement du signal, analyse et inf´ erence
bay´ esienne, probl` emes de poursuite et localisation d’objets, analyse de risques
et simulation d’´ ev` enements rares.
Concernant ces aspects num´ eriques, il est essentiel de souligner que les
m´ ethodes stochastiques d´ ecrites dans cet ouvrage ne sont en aucune fa¸ con des
techniques universelles uniques pour la r´ esolution num´ erique d’un probl` eme
d’estimation donn´ e. Les m´ ethodes et algorithmes stochastiques expos´ es dans
la seconde partie de l’ouvrage sont principalement des outils de base souvent
compl´ ementaires pour r´ esoudre des probl` emes d’estimation concrets issus de
l’ing´ enierie ou de la physique. Dans le texte, nous avons essay´ e de souligner
les avantages et inconv´ enients des divers algorithmes expos´ es. Leurs performances num´ eriques, et des comparaisons d´ etaill´ ees avec d’autres techniques
stochastiques ou purement d´ eterministes concurrentes sont souvent li´ ees `
a la
complexit´ e et ` a la nature des probl` emes ´ etudi´ es. Ces ´ etudes comparatives
num´ eriques ou th´ eoriques sont bien souvent difficiles `
a mener dans un cadre
g´ en´ eral, et elles ne sont pas l’objet de cet ouvrage g´ en´ eraliste.
Une description plus pr´ ecise de ces trois parties est fournie ci-dessous.
La premi` ere partie d´ edi´ ee aux mod` eles stochastiques s’organise de la fa¸ con
suivante :
Nous passons tout d’abord en revue un certain nombre de mod` eles classiques tels les chaˆ ınes de Markov sur des espaces discrets, et leurs interpr´ etations matricielles.
On illustre ensuite ces mod` eles avec des exemples d’´ evolution de marches
al´ eatoires dans des r´ eseaux discrets, des mod` eles d’´ evolution d’urnes al´ eatoires,
des fonctions it´ er´ ees stochastiques, ou encore des processus de branchement.
On profitera de ce cadre assez ´ el´ ementaire pour introduire simplement des
notions plus sophistiqu´ ees, telles la notion de processus arrˆ et´ e, ou encore la
notion de processus historiques. Nous aborderons par la suite la description de
chaˆ ınes de Markov abstraites. Ces mod` eles stochastiques g´ en´ eraux permettent
de formaliser la plupart des ph´ enom` enes al´ eatoires ´ evoluant dans des espaces
d’´ etats plus g´ en´ eraux, tels des espaces euclidiens, ou encore des espaces de
trajectoires ou d’excursions al´ eatoires. Nous illustrons ces mod` eles plus abstraits avec un certain nombre de processus al´ eatoires rencontr´ es en pratique :
les processus de sauts poissonniens, les ´ evolutions lin´ eaires et gaussiennes, les
´ evolutions de particules dans des milieux absorbants, des dynamiques de populations, ou encore des mod` eles stochastiques de type Robbins-Monroe tels
les algorithmes de gradient stochastique, ou de recherche de m´ ediane.
Apr` es cette ´ etude assez classique, nous pr´ esentons une nouvelle classe de
mod` eles de chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires. Ces mod` eles stochastiques plus
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ces interpr´ etations, ces mod` eles permettent de d´ efinir de nouvelles techniques
de simulation de type MCMC en interaction.
La troisi` eme partie est consacr´ ee ` a l’application des mod` eles et m´ ethodes
stochastiques d´ ecrites dans les deux premi` eres parties ` a diff´ erents domaines
scientifiques : simulation de fractal par des fonctions it´ er´ ees stochastiques,
r´ esolution stochastique de probl` emes d’´ enum´ eration combinatoire, optimisation stochastique multi-crit` eres, traitement du signal, analyse et inf´ erence
bay´ esienne, probl` emes de poursuite et localisation d’objets, analyse de risques
et simulation d’´ ev` enements rares.
Concernant ces aspects num´ eriques, il est essentiel de souligner que les
m´ ethodes stochastiques d´ ecrites dans cet ouvrage ne sont en aucune fa¸ con des
techniques universelles uniques pour la r´ esolution num´ erique d’un probl` eme
d’estimation donn´ e. Les m´ ethodes et algorithmes stochastiques expos´ es dans
la seconde partie de l’ouvrage sont principalement des outils de base souvent
compl´ ementaires pour r´ esoudre des probl` emes d’estimation concrets issus de
l’ing´ enierie ou de la physique. Dans le texte, nous avons essay´ e de souligner
les avantages et inconv´ enients des divers algorithmes expos´ es. Leurs performances num´ eriques, et des comparaisons d´ etaill´ ees avec d’autres techniques
stochastiques ou purement d´ eterministes concurrentes sont souvent li´ ees `
a la
complexit´ e et ` a la nature des probl` emes ´ etudi´ es. Ces ´ etudes comparatives
num´ eriques ou th´ eoriques sont bien souvent difficiles `
a mener dans un cadre
g´ en´ eral, et elles ne sont pas l’objet de cet ouvrage g´ en´ eraliste.
Une description plus pr´ ecise de ces trois parties est fournie ci-dessous.
La premi` ere partie d´ edi´ ee aux mod` eles stochastiques s’organise de la fa¸ con
suivante :
Nous passons tout d’abord en revue un certain nombre de mod` eles classiques tels les chaˆ ınes de Markov sur des espaces discrets, et leurs interpr´ etations matricielles.
On illustre ensuite ces mod` eles avec des exemples d’´ evolution de marches
al´ eatoires dans des r´ eseaux discrets, des mod` eles d’´ evolution d’urnes al´ eatoires,
des fonctions it´ er´ ees stochastiques, ou encore des processus de branchement.
On profitera de ce cadre assez ´ el´ ementaire pour introduire simplement des
notions plus sophistiqu´ ees, telles la notion de processus arrˆ et´ e, ou encore la
notion de processus historiques. Nous aborderons par la suite la description de
chaˆ ınes de Markov abstraites. Ces mod` eles stochastiques g´ en´ eraux permettent
de formaliser la plupart des ph´ enom` enes al´ eatoires ´ evoluant dans des espaces
d’´ etats plus g´ en´ eraux, tels des espaces euclidiens, ou encore des espaces de
trajectoires ou d’excursions al´ eatoires. Nous illustrons ces mod` eles plus abstraits avec un certain nombre de processus al´ eatoires rencontr´ es en pratique :
les processus de sauts poissonniens, les ´ evolutions lin´ eaires et gaussiennes, les
´ evolutions de particules dans des milieux absorbants, des dynamiques de populations, ou encore des mod` eles stochastiques de type Robbins-Monroe tels
les algorithmes de gradient stochastique, ou de recherche de m´ ediane.
Apr` es cette ´ etude assez classique, nous pr´ esentons une nouvelle classe de
mod` eles de chaˆ ınes de Markov non lin´ eaires. Ces mod` eles stochastiques plus