XII
Avant-propos
sophistiqu´ es s’expriment en terme d’une chaˆ ıne de Markov dont les transitions de probabilit´ es d´ ependent des lois des ´ etats courants du processus.Une
partie importante de cette ´ etude concerne les interpr´ etations particulaires de
ces mod` eles non lin´ eaires en termes de syst` emes de particules en interaction
de type champ moyen. Nous illustrerons ces mod` eles avec des exemples de
processus en interaction spatiale de type gaussien, des mod` eles simplifi´ es de
gaz de McKean, des semigroupes de Feynman-Kac et leurs interpr´ etations en
terme de dynamiques de population g´ en´ etiques.
Les versions ` a temps continu de ces mod` eles particulaires ont ´ et´ e introduites aux d´ ebuts des ann´ ees 1950 par M. Kac [97] pour analyser les
´ equations d’´ evolution de plasma de Vlasov [110]. Ces ´ etudes ont ensuite ´ et´ e
d´ evelopp´ ees par H. P. McKean dans son article fondateur [114]. Pour une
´ etude math´ ematique plus approfondie de ces mod` eles ` a temps continu, nous
renvoyons le lecteurs aux articles de C. Graham [82, 83, 84], aux articles de
C. Graham et S. M´ el´ eard [76, 77, 79, 80, 81], ainsi qu’aux articles de A. S.
Sznitman [144], et H. Tanaka [145].
Une autre forme d’interaction porte sur la d´ ependance des ´ etats d’un processus avec sa mesure d’occupation temporelle. A la diff´ erence des interactions
spatiales examin´ ees ci-dessus, cette nouvelle classe de mod` eles en interaction
est li´ ee ` a des m´ ecanismes d’adaptation et de renforcement temporel. Le comportement en temps long de ces mod` eles stochastiques en auto-interaction
sont ´ etroitement li´ es ` a un param` etre de renforcement temporel. Nous examinerons simplement les diff´ erentes propri´ et´ es de convergence de ce type de
mod` eles dans le cadre d’une loi des grands nombres ralentie par le processus
de renforcement.
Nous aborderons ensuite des mod` eles en auto-interaction plus complexes
li´ es ` a des m´ ecanismes de renforcement de type ´ evolutionnaires. Cette partie de
l’ouvrage consacr´ ee aux chaˆ ınes en auto-interaction est essentiellement fond´ ee
sur deux articles du premier auteur avec L. Miclo [34, 35]. Il est important de
souligner que ces mod` eles stochastiques sont ´ etroitement li´ es aux processus
de renforcement de type mod` eles d’urnes, ou encore des marches al´ eatoires
renforc´ ees selon leurs visites multiples sur des arˆ etes ou sur des ´ etats d’un
graphe. Pour compl´ eter cette partie, nous renvoyons le lecteur aux articles de
B. Davis [28, 29], ` a l’article de synth` ese de R. Pemantle [126], ainsi qu’aux
articles de A. Beretti et A. Sokal [16], M. Bena¨ ım [11], M. Bena¨ ım, M. Ledoux,
et O. Raimond [12], et M. Bena¨ ım, O. Raimond [13, 14], et M. Bena¨ ım S.
Schreiber, et P. Tarr` es [15].
Nous terminerons cette premi` ere partie consacr´ ee aux mod` eles stochastiques par une ´ etude sur les liens entre les mod` eles ` a temps discret et ` a temps
continu. Cette ´ etude offre un certain nombre d’outils d’analyse stochastique
pour la discr´ etisation temporelle, ainsi que pour l’analyse de processus physiques bien souvent donn´ es par des mod` eles formalis´ es ` a temps continu. Pour
permettre au lecteur d’aborder ces mod` eles sans trop de difficult´ es, nous soulignerons sans entrer dans des d´ etails trop techniques les points de contact
essentiels entre la th´ eorie des ´ equations int´ egro-diff´ erentielles et la th´ eorie des
Avant-propos
sophistiqu´ es s’expriment en terme d’une chaˆ ıne de Markov dont les transitions de probabilit´ es d´ ependent des lois des ´ etats courants du processus.Une
partie importante de cette ´ etude concerne les interpr´ etations particulaires de
ces mod` eles non lin´ eaires en termes de syst` emes de particules en interaction
de type champ moyen. Nous illustrerons ces mod` eles avec des exemples de
processus en interaction spatiale de type gaussien, des mod` eles simplifi´ es de
gaz de McKean, des semigroupes de Feynman-Kac et leurs interpr´ etations en
terme de dynamiques de population g´ en´ etiques.
Les versions ` a temps continu de ces mod` eles particulaires ont ´ et´ e introduites aux d´ ebuts des ann´ ees 1950 par M. Kac [97] pour analyser les
´ equations d’´ evolution de plasma de Vlasov [110]. Ces ´ etudes ont ensuite ´ et´ e
d´ evelopp´ ees par H. P. McKean dans son article fondateur [114]. Pour une
´ etude math´ ematique plus approfondie de ces mod` eles ` a temps continu, nous
renvoyons le lecteurs aux articles de C. Graham [82, 83, 84], aux articles de
C. Graham et S. M´ el´ eard [76, 77, 79, 80, 81], ainsi qu’aux articles de A. S.
Sznitman [144], et H. Tanaka [145].
Une autre forme d’interaction porte sur la d´ ependance des ´ etats d’un processus avec sa mesure d’occupation temporelle. A la diff´ erence des interactions
spatiales examin´ ees ci-dessus, cette nouvelle classe de mod` eles en interaction
est li´ ee ` a des m´ ecanismes d’adaptation et de renforcement temporel. Le comportement en temps long de ces mod` eles stochastiques en auto-interaction
sont ´ etroitement li´ es ` a un param` etre de renforcement temporel. Nous examinerons simplement les diff´ erentes propri´ et´ es de convergence de ce type de
mod` eles dans le cadre d’une loi des grands nombres ralentie par le processus
de renforcement.
Nous aborderons ensuite des mod` eles en auto-interaction plus complexes
li´ es ` a des m´ ecanismes de renforcement de type ´ evolutionnaires. Cette partie de
l’ouvrage consacr´ ee aux chaˆ ınes en auto-interaction est essentiellement fond´ ee
sur deux articles du premier auteur avec L. Miclo [34, 35]. Il est important de
souligner que ces mod` eles stochastiques sont ´ etroitement li´ es aux processus
de renforcement de type mod` eles d’urnes, ou encore des marches al´ eatoires
renforc´ ees selon leurs visites multiples sur des arˆ etes ou sur des ´ etats d’un
graphe. Pour compl´ eter cette partie, nous renvoyons le lecteur aux articles de
B. Davis [28, 29], ` a l’article de synth` ese de R. Pemantle [126], ainsi qu’aux
articles de A. Beretti et A. Sokal [16], M. Bena¨ ım [11], M. Bena¨ ım, M. Ledoux,
et O. Raimond [12], et M. Bena¨ ım, O. Raimond [13, 14], et M. Bena¨ ım S.
Schreiber, et P. Tarr` es [15].
Nous terminerons cette premi` ere partie consacr´ ee aux mod` eles stochastiques par une ´ etude sur les liens entre les mod` eles ` a temps discret et ` a temps
continu. Cette ´ etude offre un certain nombre d’outils d’analyse stochastique
pour la discr´ etisation temporelle, ainsi que pour l’analyse de processus physiques bien souvent donn´ es par des mod` eles formalis´ es ` a temps continu. Pour
permettre au lecteur d’aborder ces mod` eles sans trop de difficult´ es, nous soulignerons sans entrer dans des d´ etails trop techniques les points de contact
essentiels entre la th´ eorie des ´ equations int´ egro-diff´ erentielles et la th´ eorie des