Avant-propos
XIII
processus stochastiques. Pour une ´ etude math´ ematique plus approfondie nous
renvoyons le lecteur aux ouvrages de r´ ef´ erences de D. Revuz et M. Yor [131],
I. Karatzas et S. Shreve [100, 101], S. Ethier et T. Kurtz [61], B. Øksendal [125], B. Øksendal et A. Sulem [124]. Pour une ´ etude plus approfondie
des convergences des sch´ emas d’approximation temporels nous renvoyons le
lecteur aux articles de E. Pardoux et D. Talay [127], V. Bally et D. Talay [8],
ainsi qu’aux articles de r´ ef´ erences de P.E. Kloeden, E. Platen, et leur coauteurs [103, 104, 105, 106].
Le seconde partie d´ edi´ ee aux algorithmes stochastiques, commence par une
description assez d´ etaill´ ee des algorithmes classiques de type Monte Carlo par
chaˆ ıne de Markov, en soulignant leurs fondements math´ ematiques et leurs
propri´ et´ es de convergence en temps long. Nous passerons ainsi en revue les
algorithmes de type Metropolis-Hastings, et l’´ echantillonneur de Gibbs. Ces
m´ ethodes de simulation stochastique de lois cibles donn´ ees sont illustr´ ees avec
des mod` eles d’aimantation ferromagn´ etique d’Ising, et des restrictions de mesures sur des espaces produits. Une partie importante de cette ´ etude concerne
les principes d’exploration locale d’espaces de solutions, les mod` eles fond´ es sur
des variables de conditionnement structurels, ainsi que l’utilisation de sch´ emas
de temp´ eratures d´ ecroissantes associ´ es ` a des algorithmes non homog` enes de
type recuit simul´ e. Le lecteur pourra compl´ eter ces ´ etudes avec les ouvrages
compl´ ementaires de B.A. Berg [17], et les ouvrages de W. M. Bolstad [19],
W. R. Gilks, S. Richardson, et D. J. Spiegelhalter [73], C.P. Robert et G.
Casella [133], R. Y. Rubinstein et D. P. Kroese [136]
Nous pr´ esenterons ensuite une nouvelle classe d’algorithmes stochastiques
pour la simulation de mesures de Feynman-Kac sur des espaces de trajectoires. L’´ etude de ces mod` eles probabilistes est plus r´ ecente. Ces mod` eles sont
une extension naturelle des mesures de Boltzmann-Gibbs dans le cadre de
trajectoires al´ eatoires. Pour ˆ etre plus pr´ ecis, ces mesures de probabilit´ es s’expriment comme des lois de trajectoires de processus al´ eatoires pond´ er´ ees par
des produits de fonctions positives sur les ´ etats visit´ es. Ces pond´ erations multiplicatives permettent de repr´ esenter la plupart des lois conditionnelles de
processus stochastiques, par rapport ` a des ´ ev´ enements plus ou moins complexes.
Outre ces propri´ et´ es de conditionnement, ces mod` eles de Feynman-Kac
permettent aussi de transformer un algorithme de type MCMC en un algorithme de MCMC en interaction. Outre l’avantage num´ erique de pouvoir
ˆ etre simul´ e sur des ordinateurs par des techniques de calcul parall` ele, ces algorithmes particulaires en interaction ne sont plus li´ es ` a la convergence en temps
long des algorithmes de MCMC classiques. En un certain sens, les m´ emoires
temporelles des techniques de MCMC convergeant en temps long sont ici remplac´ ees par des m´ emoires spatiales sur des tailles de population en interaction.
La taille de ces populations est d´ esormais le seul param` etre de pr´ ecision de
ces algorithmes stochastiques.
Les techniques particulaires d´ ecrites dans cette seconde partie sont aujourd’hui d’un usage courant en physique, en biologie, en statistique bay´ esienne, et
XIII
processus stochastiques. Pour une ´ etude math´ ematique plus approfondie nous
renvoyons le lecteur aux ouvrages de r´ ef´ erences de D. Revuz et M. Yor [131],
I. Karatzas et S. Shreve [100, 101], S. Ethier et T. Kurtz [61], B. Øksendal [125], B. Øksendal et A. Sulem [124]. Pour une ´ etude plus approfondie
des convergences des sch´ emas d’approximation temporels nous renvoyons le
lecteur aux articles de E. Pardoux et D. Talay [127], V. Bally et D. Talay [8],
ainsi qu’aux articles de r´ ef´ erences de P.E. Kloeden, E. Platen, et leur coauteurs [103, 104, 105, 106].
Le seconde partie d´ edi´ ee aux algorithmes stochastiques, commence par une
description assez d´ etaill´ ee des algorithmes classiques de type Monte Carlo par
chaˆ ıne de Markov, en soulignant leurs fondements math´ ematiques et leurs
propri´ et´ es de convergence en temps long. Nous passerons ainsi en revue les
algorithmes de type Metropolis-Hastings, et l’´ echantillonneur de Gibbs. Ces
m´ ethodes de simulation stochastique de lois cibles donn´ ees sont illustr´ ees avec
des mod` eles d’aimantation ferromagn´ etique d’Ising, et des restrictions de mesures sur des espaces produits. Une partie importante de cette ´ etude concerne
les principes d’exploration locale d’espaces de solutions, les mod` eles fond´ es sur
des variables de conditionnement structurels, ainsi que l’utilisation de sch´ emas
de temp´ eratures d´ ecroissantes associ´ es ` a des algorithmes non homog` enes de
type recuit simul´ e. Le lecteur pourra compl´ eter ces ´ etudes avec les ouvrages
compl´ ementaires de B.A. Berg [17], et les ouvrages de W. M. Bolstad [19],
W. R. Gilks, S. Richardson, et D. J. Spiegelhalter [73], C.P. Robert et G.
Casella [133], R. Y. Rubinstein et D. P. Kroese [136]
Nous pr´ esenterons ensuite une nouvelle classe d’algorithmes stochastiques
pour la simulation de mesures de Feynman-Kac sur des espaces de trajectoires. L’´ etude de ces mod` eles probabilistes est plus r´ ecente. Ces mod` eles sont
une extension naturelle des mesures de Boltzmann-Gibbs dans le cadre de
trajectoires al´ eatoires. Pour ˆ etre plus pr´ ecis, ces mesures de probabilit´ es s’expriment comme des lois de trajectoires de processus al´ eatoires pond´ er´ ees par
des produits de fonctions positives sur les ´ etats visit´ es. Ces pond´ erations multiplicatives permettent de repr´ esenter la plupart des lois conditionnelles de
processus stochastiques, par rapport ` a des ´ ev´ enements plus ou moins complexes.
Outre ces propri´ et´ es de conditionnement, ces mod` eles de Feynman-Kac
permettent aussi de transformer un algorithme de type MCMC en un algorithme de MCMC en interaction. Outre l’avantage num´ erique de pouvoir
ˆ etre simul´ e sur des ordinateurs par des techniques de calcul parall` ele, ces algorithmes particulaires en interaction ne sont plus li´ es ` a la convergence en temps
long des algorithmes de MCMC classiques. En un certain sens, les m´ emoires
temporelles des techniques de MCMC convergeant en temps long sont ici remplac´ ees par des m´ emoires spatiales sur des tailles de population en interaction.
La taille de ces populations est d´ esormais le seul param` etre de pr´ ecision de
ces algorithmes stochastiques.
Les techniques particulaires d´ ecrites dans cette seconde partie sont aujourd’hui d’un usage courant en physique, en biologie, en statistique bay´ esienne, et