XIV
Avant-propos
dans de nombreux domaines issus des sciences de l’ing´ enieur : repr´ esentations
stochastiques de v´ eg´ etation fractales, filtrage de signaux, localisation et poursuite, analyse de risque et simulation d’´ ev´ enements rares, recherche de solutions optimales, r´ egulation de processus et contrˆ ole optimal. Ces diff´ erents
domaines d’applications sont approfondis dans la trois` eme partie de l’ouvrage.
Nous commencerons cette ´ etude par des mod` eles stochastiques fractals.
Ces mod` eles sont fond´ es sur des techniques de simulation de chaˆ ınes de Markov tr` es ´ el´ ementaires. L’id´ ee principale consiste tout simplement ` a choisir de
fa¸ con al´ eatoire une fonction affine dans un ensemble fini. On it´ ere ensuite
ces transformations `
a partir d’un point initial. Les mesures d’occupation des
it´ erations de fonctions al´ eatoires refl` etent les sym´ etries des transformations affines choisies, conduisant ` a des mesures invariantes support´ ees par des images
fractales. Plus surprenant, ces mod` eles stochastiques assez ´ el´ ementaires permettent de formaliser assez simplement des ´ evolutions de v´ eg´ etaux, tels des
formations de feuilles ou d’arbres.
Nous pr´ esenterons ensuite des techniques d’optimisation stochastique de
type particulaires. Ces mod` eles sont bas´ es sur des interpr´ etations de flots de
mesures de Boltzmann-Gibbs en terme de semigroupes de Feynman-Kac. A la
diff´ erence des m´ ethodes de type recuit simul´ e classiques bas´ ees sur la notion
de mesure invariante, ces algorithmes adaptatifs de type g´ en´ etique permettent
de simuler une mesure de Boltzmann-Gibbs ` a temp´ erature fix´ ee lorsque la
taille des populations tend vers l’infini. Outre ces propri´ et´ es de convergence,
ces algorithmes offrent des estimations r´ ecursives des constantes de normalisation de ces lois cibles. Nous illustrons ces m´ ethodes particulaires dans le
cas de probl` emes d’organisation multi-crit` eres, ainsi que dans la r´ esolution de
probl` emes d’ optimisation quadratiques, et dans le d´ ecoupage maximal de
graphes.
Apr` es ces deux th´ ematiques assez classiques, nous examinerons des applications des m´ ethodes particulaires en traitement du signal. Nous commencerons par une description du filtre de Kalman-Bucy dans sa formulation directe,
et ` a rebours. Nous ´ etudierons ensuite des probl` emes de filtrage de signaux non
lin´ eaires et/ou non gaussiens. La repr´ esentation des lois conditionnelles des
trajectoires du signal par rapport `
a des s´ equences d’observation s’exprime de
fa¸ con naturelle en terme de mesures de Feynman-Kac. Dans la litt´ erature du
traitement du signal, les approximations particulaires de ces lois conditionnelles sont plus connues sous le nom de filtrage particulaire. Dans le cas de
mod` eles conditionnellement lin´ eaires et gaussiens, nous pr´ esenterons de nouvelles techniques d’estimation fond´ ees sur la simulation de filtres de Kalman
en interaction.
Nous poursuivrons cette ´ etude par des applications des m´ ethodes particulaires en statistique bay´ esienne. Nous commencerons par des probl` emes d’estimation de param` etres fixes dans des mod` eles de chaˆ ıne de Markov cach´ ees.
Nous examinerons ensuite des mod` eles dans lesquels les fonctions de vraisemblance locales sont inconnues ou difficiles `
a calculer dans des temps raisonnables. Ces mod` eles stochastiques sont souvent li´ es ` a des capteurs de mesures
Avant-propos
dans de nombreux domaines issus des sciences de l’ing´ enieur : repr´ esentations
stochastiques de v´ eg´ etation fractales, filtrage de signaux, localisation et poursuite, analyse de risque et simulation d’´ ev´ enements rares, recherche de solutions optimales, r´ egulation de processus et contrˆ ole optimal. Ces diff´ erents
domaines d’applications sont approfondis dans la trois` eme partie de l’ouvrage.
Nous commencerons cette ´ etude par des mod` eles stochastiques fractals.
Ces mod` eles sont fond´ es sur des techniques de simulation de chaˆ ınes de Markov tr` es ´ el´ ementaires. L’id´ ee principale consiste tout simplement ` a choisir de
fa¸ con al´ eatoire une fonction affine dans un ensemble fini. On it´ ere ensuite
ces transformations `
a partir d’un point initial. Les mesures d’occupation des
it´ erations de fonctions al´ eatoires refl` etent les sym´ etries des transformations affines choisies, conduisant ` a des mesures invariantes support´ ees par des images
fractales. Plus surprenant, ces mod` eles stochastiques assez ´ el´ ementaires permettent de formaliser assez simplement des ´ evolutions de v´ eg´ etaux, tels des
formations de feuilles ou d’arbres.
Nous pr´ esenterons ensuite des techniques d’optimisation stochastique de
type particulaires. Ces mod` eles sont bas´ es sur des interpr´ etations de flots de
mesures de Boltzmann-Gibbs en terme de semigroupes de Feynman-Kac. A la
diff´ erence des m´ ethodes de type recuit simul´ e classiques bas´ ees sur la notion
de mesure invariante, ces algorithmes adaptatifs de type g´ en´ etique permettent
de simuler une mesure de Boltzmann-Gibbs ` a temp´ erature fix´ ee lorsque la
taille des populations tend vers l’infini. Outre ces propri´ et´ es de convergence,
ces algorithmes offrent des estimations r´ ecursives des constantes de normalisation de ces lois cibles. Nous illustrons ces m´ ethodes particulaires dans le
cas de probl` emes d’organisation multi-crit` eres, ainsi que dans la r´ esolution de
probl` emes d’ optimisation quadratiques, et dans le d´ ecoupage maximal de
graphes.
Apr` es ces deux th´ ematiques assez classiques, nous examinerons des applications des m´ ethodes particulaires en traitement du signal. Nous commencerons par une description du filtre de Kalman-Bucy dans sa formulation directe,
et ` a rebours. Nous ´ etudierons ensuite des probl` emes de filtrage de signaux non
lin´ eaires et/ou non gaussiens. La repr´ esentation des lois conditionnelles des
trajectoires du signal par rapport `
a des s´ equences d’observation s’exprime de
fa¸ con naturelle en terme de mesures de Feynman-Kac. Dans la litt´ erature du
traitement du signal, les approximations particulaires de ces lois conditionnelles sont plus connues sous le nom de filtrage particulaire. Dans le cas de
mod` eles conditionnellement lin´ eaires et gaussiens, nous pr´ esenterons de nouvelles techniques d’estimation fond´ ees sur la simulation de filtres de Kalman
en interaction.
Nous poursuivrons cette ´ etude par des applications des m´ ethodes particulaires en statistique bay´ esienne. Nous commencerons par des probl` emes d’estimation de param` etres fixes dans des mod` eles de chaˆ ıne de Markov cach´ ees.
Nous examinerons ensuite des mod` eles dans lesquels les fonctions de vraisemblance locales sont inconnues ou difficiles `
a calculer dans des temps raisonnables. Ces mod` eles stochastiques sont souvent li´ es ` a des capteurs de mesures