3.6 Flots de mesures de Feynman-Kac
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3.6.3 Champs moyens de type ´ evolutionnaire
L’interpr´ etation particulaire (3.2) associ´ ee aux ´ equations (3.3) est la chaˆ ıne
de Markov
ξ
(N )
n
=
ξ
(1,N )
n
, ξ
(2,N )
n
, . . . , ξ
(N,N )
n
∈ (E n )
N
de transitions ´ el´ ementaires donn´ ees par la formule suivante :
P
ξ
(N )
n+1 ∈ dx n+1 | ξ
(N )
n
=
N
i=1
K n+1,η N
n
ξ
(i,N )
n
, dx
i
n+1
(3.12)
avec les mesures d’occupation η
N
n , et les probabilit´ es de transitions K n+1,η N
n
donn´ ees par
η
N
n :=
1
N
N
j=1
δ ξ
(j,N )
n
et K n+1,η N
n
= S n,η N
n
M n+1
On notera que l’on a
P
ξ
(N )
n+1 ∈ dx n+1 | ξ
(N )
n
=
E N
n
S n (ξ
(N )
n , dx n ) M n+1 (x n , dx n+1 )
avec les transitions de Boltzmann-Gibbs S n de E
N
n dans lui mˆ eme et les
transitions d’exploration M n+1 de E
N
n dans E
N
n+1 d´ efinies par
S n (ξ
(N )
n , dx n ) =
N
i=1
S n,η N
n
(ξ
(i,N )
n
, dx
i
n )
M n+1 (x n , dx n+1 ) =
N
i=1
M n+1 (x
i
n , dx
i
n+1 )
Ces d´ ecompositions soulignent le fait que la chaˆ ıne de Markov suit les deux
mˆ emes ´ etapes de mise ` a jour/correction et d’exploration/mutation que le flot
des mesures de Feynman-Kac limites. Plus formellement, les deux ´ etapes de
correction/pr´ ediction dans l’espace des distributions :
η n ∈ P(E n )
Sn,η n
− − − − − − − −→
η n = η n S n,ηn ∈ P(E n )
Mn+1
− − − − − − −→ η n+1 =
η n M n+1
(3.13)
sont approch´ ees par deux ´ etapes ´ evolutionnaires de type s´ election/mutation
dans l’espace des mesures empiriques :
ξ
(N )
n
∈ E
N
n
selection
− − − − − − − −→
ξ
(N )
n
∈ E
N
n
mutation
− − − − − − −→ ξ
(N )
n+1 ∈ E
N
n+1
(3.14)